自然常数 e 与欧拉恒等式

一、导数

1.1 状态量

状态量是用来描述某个现象当前状态的量，往往是一种物理量、经济量或工程量。

例如，竹子的高度、汽车的位置、电容两端的电压、银行账户中的金额，都可以看作状态量。

比如我们说竹子的高度 1m，1m 就是一个状态量。

1.2 变化率

假设竹子的生长高度函数是：

比如

就是意味着竹子生长到 1h 时间后长度为 1.5m。

1.2.1 间隔 1h 期间的平均生长速度

我们先不讨论微分。

我们希望先得到 1h 到 2h 这段时间内竹子的平均生长速度。

我们测得两个状态量，1h 的竹子的高度为 1.5m，2h 的高度为 1.6m：

也就是说，平均每 h 长高 0.1m，这段时间内平均生长速度就是 0.1m/h 了。

1.2.2 间隔 0.5h 期间的平均生长速度

再去测量计算，就得到这段 0.5h 间隔内平均生长速度，单位为 m/h。

1.2.3 瞬时变化率

我们不如直接将这个间隔时间求的无限地小：

这就是真正的瞬时速度了，而不是某一段时间的平均速度，单位同样为 m/h。

位置的导数就是速度，是指当时间间隔趋近于 0 时，位置增量与时间增量的比值。

1.3 单位状态量的变化率

单位状态量的变化率是指状态量的变化率与状态量之间的比值。

比如某一时刻，竹子的高度是：

竹子的瞬时生长速度为：

那么单位状态量的变化率为：

其物理意义就是：

竹子每小时增长自己当前高度的 5%。

单位状态量的变化率 = 生长速度 / 生长高度。

二、自然常数 e

2.1 竹子生长问题

我们假设增长速度为：

100%/y/m，也就是竹子每年增长自身的 100%

2.1.1 只增长一次

2.2.2 每月增长一次

2.2.3 每天增长一次

2.2.4 无限次增长

2.2 e 的定义

至此，我们得到了欧拉常数。

对于一个单位状态量的变化率是固定值 100% 的系统，e 代表了在一个单位时间内，连续的翻倍增长所能达到的极限值。

比如说你存 1 块钱给银行，银行的年利率是 100%，如果一年存一次可获得 2 元，如果存 12 次可获得 2.613 元，如果存无限多次，最多也只能获得 e 元。

更深刻一点的说：

e 描述了连续体变化 (增长或衰减) 的一种状态，而自然界中大部分事物变化发展是接近这种状态的，这也就是为什么很多状态曲线呈现指数样式的原因所在。

简单一句话：e 代表了变化的连续。

三、复数

3.1 虚轴

如下图所示，我们引入虚数轴的概念：

在复平面内，乘以 i 等价于逆时针旋转 90°，横轴是实数轴，竖轴是虚数轴。

比如实数 4，乘一次 i 可得：

再乘一次，就转到了负数：

所以乘 i 的意义就是，将数字逆时针旋转 90°。

3.2 二维矢量变换

假设我们有一个坐标 (a,b)，转化为复数坐标得：

乘 i 旋转 90°：

也就是坐标从 (a,b) 转化为 (-b,a)

这正好就是二维平面里逆时针旋转 90° 的结果。

四、欧拉恒等式

4.1 引入欧拉恒等式

指数函数的泰勒展开是：

我们将其推广到复数域：

它的幂每四次循环一次：

去掉分子上的括号可得：

我们知道 sin 和 cos 的的泰勒展开是：

由指数的泰勒展开和 sin 和 cos 的泰勒展开可得：

当：

的时候，我们可知：

4.2 向量的二维旋转

4.2.1 把二维点写成复数

平面上的点或向量：

把二维点写成复数：

• x = 实部 横坐标
• y = 虚部 纵坐标

4.2.2 旋转因子

旋转角度 θ 的单位复数是：

它在复平面上表示一个，长度为 1，与正实轴 (0°) 夹角为 θ 的角。

所以旋转后的点：

• z = 原来的向量
• z' = 旋转后的新点

展开一下：

因为：

所以：

于是实部、虚部分别是：

这就刚好等价于矩阵旋转：