矩阵代数

矩阵的加减法

矩阵的数乘

矩阵的乘法

定义：设A=(a_ij)_m*s，B=(b_ij)_s*n，那么规定矩阵A与矩阵B的成绩是一个m*n矩阵C=(c_ij)，其中
c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj=∑k=1saikbkj\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}∑k=1s​aik​bkj​(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)并把次程纪记作C=AB。
注：只有左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数是，A和B才能进行乘法运算。



矩阵乘法应注意的几点

1. 矩阵相乘一般不满足交换律；
2. 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；
3. 矩阵乘法一般不满足消去率；

定理设A为m * n矩阵B为n * s矩阵，则(AB)=BTATB^{T}A^{T}BTAT。

定理设A,B为n阶方阵，则|AB|=|A||B|。

逆矩阵

定义对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，则方阵A成为可你矩阵，方阵B称为A的逆矩阵，记为A−1A^{-1}A−1
注：

1. 只有方阵才能定义逆矩阵；
2. 如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的；
3. 可逆矩阵也成为非退化真（非奇异阵）；不可逆矩阵称为退化阵（奇异阵）。

定义矩阵A的每个元素的代数余子式A_ij所构成的如下矩阵

称为矩阵A的转置伴随矩阵。
性质：AA∗=A∗A=∣A∣IAA^{*}=A^{*}A=|A|IAA∗=A∗A=∣A∣I
结论：∣A∗∣=∣A∣n−1,(A∗)−1=A∣A∣|A^{*}|=|A|^{n-1},(A^{*})^{-1}=\frac{A}{|A|}∣A∗∣=∣A∣n−1,(A∗)−1=∣A∣A​
定理：矩阵A可逆的充分必要条件是∣A∣≠0\left | A \right |\neq 0∣A∤​=0；当A可逆时A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}A−1=∣A∣1​A∗。若A、B均为n阶方阵，且AB=I（或BA=I），则A,B互逆。
若A,B为同阶可逆方阵，λ\lambdaλ为非零常数，则：

定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵， 称为初等矩阵.

定理：设A是m行n列矩阵，则：

1. 对A施以一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同类m阶初等矩阵左乘A；
2. 对A施以一次列初等变换所得到的矩阵，等于用同类矩阵n阶初等矩阵右乘A。
   

定理：可逆矩阵的简化梯形矩阵是单位矩阵
利用行初等变换求矩阵A的逆矩阵方法：
①构造n×2n矩阵(A | I)；
②对于(A | I)施以行初等变换把A化为I，同时对I施以完全相同 的行初等变换，这时I就化为A 的逆阵A-1.

求解矩阵方程AX=B

1. 用逆矩阵
   
2. 用初等矩阵