P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets（最大不能表示数，结论题）

题目描述
农夫布朗的奶牛们正在进行斗争，因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品：麦香牛块。奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤。奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”。“看，”奶牛们说，“如果你只用一次能装3块、6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块，你就不可能满足一次只想买1、2、4、5、7、8、11、14或者17块麦香牛块的顾客了。劣质的包装意味着劣质的产品。”

你的任务是帮助这些奶牛。给出包装盒的种类数N(1<=N<=10)和N个代表不同种类包装盒容纳麦香牛块个数的正整数(1<=i<=256)，输出顾客不能用上述包装盒(每种盒子数量无限)买到麦香牛块的最大块数。如果所有购买方案都能得到满足或者不存在不能买到块数的上限，则输出0。 不能买到的最大块数（倘它存在）不超过2,000,000,000。

输入格式
第1行: 包装盒的种类数N

第2行到N+1行: 每个种类包装盒容纳麦香牛块的个数

输出格式
输出文件只有一行数字：顾客不能用包装盒买到麦香牛块的最大块数或0(如果所有购买方案都能得到满足或者顾客不能买到的块数没有上限)。

输入输出样例
输入 #1复制
3
3
6
10
输出 #1复制
17
说明/提示
题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 4.1

思路：
一个结论是，gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1时，a,ba,ba,b最大不能表示数为ab−a−bab-a-bab−a−b
本题实际上构成nnn元变量的线性方程
x1∗a1+x2∗a2+x3∗a3+...+xn∗an=cx1*a1+x2*a2+x3*a3+...+xn*an=cx1∗a1+x2∗a2+x3∗a3+...+xn∗an=c

当gcd(a1,a2,a3,...,an)=d，d!=1gcd(a1,a2,a3,...,an)=d，d!=1gcd(a1,a2,a3,...,an)=d，d!=1时，很明显线性方程组的解为ddd的正整数倍。那么没有最大可以构成的数。

而d=0d=0d=0时，理论上是可以表示出任意数。但限制条件是x1≥0,x2≥0,x3≥0...xn≥0x1≥0,x2≥0,x3≥0...xn≥0x1≥0,x2≥0,x3≥0...xn≥0
不过我们已知两个变量时候的结论，假设存在gcd(ak1,ak2)=1gcd(ak1,ak2)=1gcd(ak1,ak2)=1，扩展到多个变量，最大不能表示数只能更小，不能再更大。这个好想，有了更多变量的帮助，结果肯定变小。但是对于6,10,156,10,156,10,15这类数，不存在任意两个gcdgcdgcd为1，但整体gcdgcdgcd为1，还不清楚怎么解决。

下面转载了 洛谷 HigHwind大佬 的反证。

之后就背包来找表示数就可以了。如果大于256*256-256-256=65024，就说明超过上限。
而1≤ai≤2561≤ai≤2561≤ai≤256，保证如果没有最大不能表示数很大很大时，在大于65024，小于100000的范围内一定可以找到不能表示数。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>inta[300],vis[100000];intmain(){intn;scanf("%d",&n);//65023for(inti=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);vis[0]=1;for(inti=1;i<=n;i++){for(intj=a[i];j<=100000;j++){vis[j]=vis[j]|vis[j-a[i]];}}intans=0;for(inti=100000;i>=0;i--){if(!vis[i]){ans=i;break;}}if(ans>65024)ans=0;//256 * 256 - 256 * 2 = 65024.可以更大，因为没有上限。不可以更小。printf("%d\n",ans);return0;}