13、时谐信号的复数表示与相量法
1.时谐信号
定义
时谐信号，在数学和工程（尤其是电路、通信、物理）领域中，指的就是随时间按正弦（或余弦）规律变化的周期性信号。
时谐信号的一般形式是：
f ( t ) = A c o s ( ω t + φ 0 ) f(t)=Acos(\omega t+\varphi_0)f(t)=Acos(ωt+φ0)
或者：
f ( t ) = A s i n ( ω t + φ 0 ) f(t)=Asin(\omega t+\varphi_0)f(t)=Asin(ωt+φ0)
其中：
- A AA是振幅（最大值）。
- ω \omegaω是角频率（决定信号变化快慢，ω = 2 π f \omega=2\pi fω=2πf，其中f ff为频率）。
- f ff代表每秒变化多少次。
- s i n sinsin或c o s coscos只接受弧度，f ff代表每秒变化多少次，一次就是2 π 2\pi2π弧度，正好是一个周期，所以2 π f 2\pi f2πf是一秒变化多少次，每次是2 π 2 \pi2π，因此就代表角频率。相比于频率换了一个角度来衡量。
- 注：频率f ff和周期T TT的关系是f = 1 / T f=1/Tf=1/T，因此角频率也可以写作2 π / T 2\pi/T2π/T也即单位时间内走过了多少的弧度。
- φ \varphiφ：初相位，单位是板度，决定t = 0 t=0t=0时波在“哪一段”。
其核心特征是：
- 单一频率：它只包含一个固定频率成分（不像方波或三角波包含多次谐波）。
- 稳态持续：它的振幅、频率和相位在理论上是恒定不变的（从t → − ∞ t\to -\inftyt→−∞到+ ∞ +\infty+∞都存在），因此也被称为等幅正弦波。
与其它信号的区别：
- 非时谐信号：频率随时间变化。
- 暂态信号：只存在一瞬间的脉冲信号（如雷击、开关动作）不属于时谐信号。
- 物理场：如果空间位置也在变化（如行波c o s ( ω t − k x ) cos(\omega t-kx)cos(ωt−kx)通常称为“简谐波”，而“时谐信号”仅强调时间维度上的简谐性。
2.时谐信号的复数表示
由欧拉公式e i α = c o s α + i s i n α e^{i\alpha}=cos\alpha + isin\alphaeiα=cosα+isinα：
- 取实部得：c o s α = R e { e i α } cos\alpha = Re\{e^{i\alpha}\}cosα=Re{eiα}
- 把α = ω t + ϕ \alpha = \omega t+\phiα=ωt+ϕ代入得：
A c o s ( ω t + ϕ ) = R e { A e i ( ω t + ϕ ) } Acos(\omega t+\phi)=Re\{Ae^{i(\omega t+\phi)}\}Acos(ωt+ϕ)=Re{Aei(ωt+ϕ)}
把上式拆成两个因子：
A e i ( ω t + ϕ ) = R e { A e i ϕ ⏟ 相量 A ~ ⋅ e i ω t ⏟ 旋转因子 } Ae^{i(\omega t+\phi)}=Re\{\underbrace{Ae^{i\phi}}_{相量\tilde{A}}\cdot \underbrace{e^{i\omega t}}_{旋转因子}\}Aei(ωt+ϕ)=Re{相量A~Aeiϕ⋅旋转因子eiωt}
这一行是相量法的核心，逐项拆解：
- A ~ = A e i ϕ \tilde{A}=Ae^{i\phi}A~=Aeiϕ：相量（phasor），一个复常数（与时间t tt无关）。它把振幅和初相ϕ \phiϕ打包成一个复数，模是A，幅角是ϕ \phiϕ。一个复数装下振幅+相位指的就是它。
- e i ω t e^{i\omega t}eiωt：旋转因子（rotation factor)，一个随时间变化的单位复数（模恒为1）。它代表复平面上以角速度ω \omegaω逆时针旋转的算子。
- 二者的乘积：A ~ e i ω t = A e i ( ω t + ϕ ) \tilde{A}e^{i\omega t}=Ae^{i(\omega t+\phi)}A~eiωt=Aei(ωt+ϕ),代表复平面上一个均速旋转的矢量，长度恒为A AA，时刻t tt的方向角是ω t + ϕ \omega t+\phiωt+ϕ。
- 取实部R e { ω t + ϕ } Re\{\omega t+\phi\}Re{ωt+ϕ}：把这个旋转矢量投影到实轴上，就得到一个随时间正弦振荡的实数，就是原信号A c o s ( ω t + ϕ ) Acos(\omega t+\phi)Acos(ωt+ϕ)。
从上图中我们来看： - 红色的箭头代表相量A ~ = A e i ϕ \tilde{A}=Ae^{i\phi}A~=Aeiϕ，它本来是一个固定的箭头。
- 一旦乘上e i ω t e^{i\omega t}eiωt，左侧大家学过是代表以ω \omegaω的角速度逆时针旋转。它在实轴上的投影就是正弦波A c o s ( ω t + ϕ ) Acos(\omega t+\phi)Acos(ωt+ϕ)。
- 旋转的复数+取实部的投影=正弦波，这就是相量法的最重要的直觉。