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数学基础一：线性代数核心 —— 向量、矩阵与张量运算

news 2026/7/30 11:22:26

数学基础一：线性代数核心 —— 向量、矩阵与张量运算

3.1 为什么深度学习离不开线性代数

深度学习底层几乎所有运算都可以抽象为张量运算，而张量是向量、矩阵的延伸。神经网络前向传播、反向传播、梯度计算、Transformer 注意力机制、大模型预训练，全部建立在线性代数之上。很多初学者跳过数学直接上手框架，只会调用 API，遇到模型不收敛、调参失效、维度报错时无从排查。掌握基础线性代数，目标不是钻研数学证明，而是看懂网络运算逻辑、理解维度变换、读懂梯度推导。

3.2 向量（Vector）

3.2.1 向量定义

向量可以理解为一组有序排列的数字。

列向量：

$\boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$

行向量：$\boldsymbol{x}^T = \begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3\end{bmatrix}$ 上标T代表转置。

在机器学习中：

一条样本特征通常表示为一个向量；
词嵌入（Embedding）本质就是高维向量。

3.2.2 向量基础运算

向量加法：对应元素相加，要求维度完全一致

$\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix}$

数乘：常数乘以向量每一个元素

$k\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}kx_1\\kx_2\end{bmatrix}$

点积（内积）

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^T\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$

几何意义：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\|\boldsymbol{a}\|\|\boldsymbol{b}\|\cos\theta$ 大模型自注意力机制核心打分计算，大量使用向量点积。

3.2.3 向量范数

范数用来衡量向量长度。 $L_2$范数（欧几里得范数）：

$\|\boldsymbol{x}\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}$

常用于归一化、权重衰减。 $L_1$范数：$ \|\boldsymbol {x}\|_1=|x_1|+|x_2|+...+|x_n|$，常用于稀疏化。

3.3 矩阵（Matrix）

3.3.1 矩阵定义

矩阵是二维数字阵列。$\boldsymbol{A}_{m\times n}$代表 m 行 n 列矩阵。

$\boldsymbol{A}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$

神经网络的权重（Weight）全部以矩阵形式存储。

3.3.2 矩阵运算

矩阵加减：同维度矩阵，对应元素运算
矩阵数乘：常数乘所有元素
矩阵乘法（重点）若$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times k}$，$\boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{k\times n}$，乘积$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\in\mathbb{R}^{m\times n}$

$c_{ij}=\sum_{t=1}^k a_{it}b_{tj}$

⚠️重要性质：

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} \ne \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$，矩阵乘法不满足交换律；
第一个矩阵列数 = 第二个矩阵行数，才可相乘。

神经网络前向传播表达式：$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{W}\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}$，就是矩阵乘法。

3.3.3 矩阵转置

$(\boldsymbol{A}^T)_{ij}=A_{ji}$ 运算规则：

$(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^T=\boldsymbol{B}^T\boldsymbol{A}^T$

3.3.4 逆矩阵、单位矩阵

单位矩阵$\boldsymbol{I}$：对角线全为 1，其余为 0。满足 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}$ 的$\boldsymbol{A}^{-1}$称为逆矩阵。