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高等数学（B）II Note 1~3（全部）

news 2026/8/2 23:05:20

注：这是本人在 2026 春季学期学习高等数学（B）II 期间所写的个人笔记，获得了总评 96.5 分的好成绩，但是笔记可能存在笔误，可能存在描述抽象难以理解的地方（建议丢 AI），可能存在渲染错误，对此本人概不负责。

高等数学（B）$\rm II$ 笔记

latest upd: 20260423

$\rm I$ 多重积分

二重积分

二重积分在平面区域上进行，写作 $\iint_Df(x, y)\text d\sigma$。

基本计算方法：分部积分 $\iint_Df(x, y)\text d\sigma=\int_a^b\text dx\int_{yx}^{y'_x}\text dyf(x, y)$。

选取积分的顺序对积分难易程度会产生影响。

【积分换元】

极坐标换元：$\text dx\text dy=r\text dr\text d\theta$。
$\text dx\text dy\text dz=\rho^2\sin\varphi\text d\rho\text d\theta\text d\varphi$。
任意坐标换元：$\dfrac{\text dx\text dy}{\text da\text db}=\dfrac{\text D(x, y)}{\text D(a, b)}=\begin{vmatrix}\partial_ax & \partial_bx\\\partial_ay & \partial_by\end{vmatrix}$，取绝对值。

计算技巧：$\iint_{[a, b]\times[m, n]}f(x)g(y)\text dx\text dy=(\int_a^bf(x)\text dx)(\int_m^ng(y)\text dy)$。多元同理。

$\rm II$ 曲线、曲面积分

格林公式：

\[\int_{L^+}(P, Q)\cdot(\text dx, \text dy) = \iint_{D}\begin{vmatrix}\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y}\\P & Q\end{vmatrix}\text d\sigma \\ \int_{L^+}(P, Q)\cdot(\text dy, -\text dx) = \iint_D(P_x+Q_y)\text d\sigma \]

路径无关的充要条件：$Q_x = P_y$ 或者说存在 $\text du = P\text dx+Q\text dy$。

【第一型曲面积分】$\iint_S f(x, y, z)\text dS$：

能写出显式表达式 $z = z(x, y)$：$\text dS = \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text dx\text dy$。
能通过参数换元 $x, y, z\gets u, v$：$\text dS = |\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\text du\text dv=|(x_u, y_u, z_u)\times(x_v, y_v, z_v)|\text du\text dv$

【第二型曲面积分】$\iint_{S^+}\mathbf F\cdot\mathbf n\text dS=\iint_{S^+}(P, Q, R)\cdot\mathbf n\text dS$：

写成第一型曲面积分：如对于单位球面 $\mathbf n=\dfrac1{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x, y, z)$；
转化为三个曲面的投影：$\iint_{S^+}(P, Q, R)\cdot\mathbf n\text dS=\iint_{S^+}P\text dy\text dz+Q\text dz\text dx+R\text dx\text dy$；
换元：$x, y, z\gets u, v$ 则 $\mathbf n\text dS = \mathbf r_u\times\mathbf r_v\text du\text dv=(x_u, y_u, z_u)\times(x_v, y_v, z_v)\text du\text dv$（注意方向）
使用高斯公式

三维空间中：

\[\iint_S (P, Q, R)\text d\vec S = \iiint_{\Omega}(P_x+Q_y+R_z)\text dV \\ \int_{L^+} = \iint_S\begin{vmatrix}\text dy\text dz & \text dz\text dx & \text dx\text dy\\\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\P & Q & R\end{vmatrix} \]

$\rm III$ 常微分方程

常微分方程的多种解法：

$\it 3.1$ 一阶

换元法：$\text d(xy)=x\text dy+y\text dx$，可以根据系数调整次数，如 $\text d(xy^{-1})=y^{-1}\text dx+x(-1)y^{-2}\text dy=y^{-2}(y\text dx-x\text dy)$。
一阶线性方程：换元 $(e^{A(x)}y)'=e^{A(x)}(y'+A'(x)y)$。
伯努利方程：$y'+P(x)y=Q(x)y^n$ 换元 $z = y^{1-n}$，即 $y'y^{-n}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \to \dfrac1{1-n}z'+P(x)z=Q(x)$。
势函数 & 积分因子：寻找 $\text du = M\text dx+N\text dy$，可以直接积分或者观察。
- 积分因子：即寻找 $\text du=\mu M\text dx+\mu N\text dy$。一般除了观察很难直接求。即验证 $(\mu M)_y = (\mu N)_x$。
- 假设存在只与 $x$ 有关的因子 $\mu(x)$，则判断方法：若 $F(x)=\dfrac{M_y-N_x}{N}$，则 $\mu = \exp(\int_{x_0}^xF(t)\text dt)$；
- 假设存在只与 $y$ 有关的因子 $\mu(y)$，则判断方法：若 $G(y)=\dfrac{N_x-M_y}{M}$，则 $\mu = \exp(\int_{y_0}^yG(t)\text dt)$。

$\it 3.2$ 一阶的一般理论

利普希茨条件：若一个函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上满足 $|f(x, y_1)-f(x, y_2)|\le L|y_1-y_2|$（存在一个这样的 $L$ 即可），则称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上对 $\mathbf y$ 满足利普希茨条件，$L$ 为利普希茨常数。

对于初值问题 $\begin{cases}y'=f(x, y)\\y(x_0) = y_0\end{cases}$，若 $f(x, y)$ 在 $R=\{(x, y)|\ |x-x_0|\le a, |y-y_0|\le b\}$ 上连续，且对 $y$ 满足利普希茨条件，则该方程组在 $[x_0-h, x_0+h]$ 上有唯一解，其中 $h=\min(a, \dfrac bM)$，$M=\max\{|f(x, y)|, (x, y)\in R\}$。

【皮卡序列】

$y'=f(x, y)$ 以 $(x_0, y_0)$ 为初始点，相当于 $y-y_0=\int_{x_0}^x f(x, y(x))\text dx$。
使用一个近似的函数序列 $y_0, y_1, \cdots, y_n$ 去逼近 $y$，其中 $y_0$ 为常数 $y_0$ 本身：
- $y_1 = y_0 + \int_{x_0}^x f(x, y_0)\text dx$；
- $y_2 = y_1 + \int_{x_0}^x f(x, y_1)\text dx$；
- $y_n = y_{n-1} + \int_{x_0}^x f(x, y_{n-1})\text dx$。
- 满足利普希茨条件时，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n(x)$ 存在极限，记为 $\varphi(x)$，则 $\varphi(x)$ 就是初值问题的解，$y_1, y_2, \cdots, y_n$ 为原问题的 $1, 2, \cdots, n$ 次近似解。

$\it 3.3$ 高阶线性微分方程

$n$ 阶线性微分方程的形式：

\[y^{(n)}(x)+p_1(x)y^{(n-1)}(x)+p_2(x)y^{(n-2)}(x)+\cdots+p_{n-1}(x)y'(x)+p_n(x)y(x)=f(x)\tag 1 \]

二阶线性微分方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$。若 $p, q, f$ 在 $[a, b]$ 上连续，方程组 $\begin{cases}y''+py'+qy=f\\y(x_0) = y_0, y'(x_0)=y_1 \end{cases}$ 在 $[a, b]$ 上存在唯一解 $y(x)$。

【函数的线性相关、线性无关】

定义：有 $m$ 个函数 $\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_m(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，若存在 $m$ 个不全为 $0$ 的常数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 满足 $\sum\limits_{i=1}^mk_i\varphi_i(x)\equiv 0, x\in[a, b]$，则称函数组在 $[a, b]$ 上线性相关，否则称它们线性无关。

线性齐次微分方程：$y''+p(x)y'+q(x)=0$。引理：若 $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$ 为线性齐次微分方程的两个解，那么它们在 $(a, b)$ 上线性相关的充要条件是：其朗斯基行列式 $W(x)=\begin{vmatrix}\varphi_1(x) & \varphi_2(x)\\\varphi_1'(x) & \varphi_2'(x)\end{vmatrix}\equiv 0, x\in(a, b)$。只要存在一点 $x_0$ 使得 $W(x_0)=0$，那么 $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$ 线性相关。

所以：若 $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$ 是齐次方程 $y''+py'+q=0$ 的两个解，则它们线性无关的充要条件是：它们的 $W(x)\not=0$，对任意 $x\in(a, b)$。
若找到了两个线性无关的解 $\varphi_1(x)$ 和 $\varphi_2(x)$，那么 $(c_1, c_2)\cdot(\varphi_1(x), \varphi_2(x))$ 就是通解（且包含一切的解）。对于 $n$ 阶方程 $(1)$，若找到了 $n$ 个线性无关的解 $\mathbf y=(\varphi_1(x), \varphi_2(x), \cdots, \varphi_n(x))$，那么其所有解就是 $\varphi(x)=\mathbf c\cdot\mathbf y$，其中 $\mathbf c$ 为大小为 $n$ 的参数集。
对于非齐次方程，只需找到非齐次方程的一个特解 $y=y^*(x)$，然后求齐次方程的所有通解，再让解空间 $\varphi(x)=\mathbf c\cdot\mathbf y$ 平移（全都加上 $y^*(x)$）即可。

$\it 3.4$ 二阶常系数的线性微分方程

考虑 $y''+py'+qy=0$，其特征方程为 $\lambda^2+p\lambda+q=0$，解得 $\lambda_1, \lambda_2$。

$\lambda_1, \lambda_2$ 为不相等的实根：通解 $y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$。
$\lambda_1=\lambda_2$ 为实数重根：通解 $y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$。
$\lambda_1=\alpha+\text i\beta, \lambda_2=\alpha-\text i\beta$：通解 $y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。

$n$ 阶的情况：

单个实根：$c\cdot e^{\lambda x}$；
$k$ 重实根：$\mathbf c\cdot (1, x, \cdots, x^{k-1})e^{\lambda x}$；
一对复数根：$e^{ax}\cdot\mathbf c\cdot(\cos\beta x, \sin\beta x)$；
$m$ 重复数根：$e^{ax}\cdot[\mathbf c_1\cdot(1, x, \cdots, x^{m-1})\cos\beta x + \mathbf c_2\cdot(1, x, \cdots, x^{m-1})\sin\beta x]$。

【求非齐次常系数线性微分方程的特解】

形式：$y''+py'+qy=f(x)$：

$f(x)=P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^np_ix^i$：假定解的形式 $y=Q_n(x)$ 为 $n$ 次多项式，带入可解（或 $y=xQ_n(x)$ 或 $y=x^2Q_n(x)$）；
$f(x)=Me^{ax}$：假定解的形式 $y=Ae^{ax}$ 或 $y=Axe^{ax}$ 或 $y=Ax^2e^{ax}$；
$f(x)=a\cos\beta x+b\sin\beta x$：假定解的形式 $y=A\cos\beta x+B\sin\beta x$ 或极少情况下 $y=x(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$。
$f(x)=P_n(x)e^{ax}(a\cos\beta x+b\sin\beta x)$：$y=e^{ax}[Q_n(x)\cos\beta x+R_n(x)\sin\beta x]$ 或多乘一个 $x$。

【常数易变法求解】

对于 $y''+p(x)y'+q(x) = F(x)$，先求解齐次方程 $y''+p(x)y'+q(x) = 0$ 的两个线性无关特解 $f, g$，则其通解可以写成 $y = (a, b)\cdot(f(x), g(x))$，此处 $(a, b)$ 为常数。
将常数替换为函数，设非齐次方程的通解形式为 $y = (a(x), b(x))\cdot(f(x), g(x))$，我们只需求出一组特解。
代数技巧：求一阶导，因为只用解一组特解，且原问题自由度很大，所以方便起见可以直接令 $a'f+b'g = 0$，带入原方程得到：$\begin{cases}a'f+b'g = 0\\a'f' + b'g' = F(x)\end{cases}$，由此解出 $a', b'$ 的具体函数。
积分得到 $a = a(x; c_1), b = b(x; c_2)$，得到通解。

【欧拉方程】

形如 $(a_0x^n, a_1x^{n-1}, \cdots, a_{n-1}x, a_n)\cdot(y^{(n)}, y^{(n-1)}, \cdots, y', y) = 0$。
方法：换元 $x = e^t$。然后 $\dfrac{\text d^2y}{\text dx^2}=(\dfrac{\text d^2y}{\text dt^2}-\dfrac{\text dy}{\text dt})e^{-2t}$。

高等数学（B）$\rm II$ / part 2

$\rm IV$ 无穷级数

$\it 4.1$ 柯西收敛原理与级数的概念

如果一个序列 $\{a_n\}$ 满足对于任意的 $\epsilon>0$，存在一个 $N$ 使得任意的 $i, j\ge N$ 都有 $|a_i-a_j|<\epsilon$，则这个序列存在极限，称其为柯西序列，或称其收敛。
形如 $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 的求和式称为一个无穷级数。$S_n$ 为前 $n$ 项的前缀和，定义 $S = \lim\limits_{n\to\infty}S_n$。
若 $S_n$ 存在极限，则其一个必要条件为 $a_n\to 0$。反例：$\sum \dfrac1x$。
级数 $\sum\limits_{i=1}^na_i$ 收敛的一个必要条件为：对于任意的 $\epsilon>0$，存在一个 $N$ 使得 $\forall n\ge N, p\ge 1$ 有 $|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_k|<\epsilon$。即：保证只要起点 $n$ 充分大，无论取多长，都能保证和充分小。

【级数的性质】

两序列若都收敛，则其加减的结果也收敛。若一个序列收敛，则其数乘的结果也收敛。若两个序列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ 满足从某一项开始都有 $a_i=b_i$，则其同时收敛或者同时发散。级数的收敛性与前面有限项的具体值无关。
对于一个序列 $\{a_n\}$ 的下标 $1, 2, \cdots$，若将其划分为若干不交且不漏的子区间，将每一段的和记作新的序列 $b_k=\sum a[i_{k-1}, i_k]$，则其收敛到相同的值。

【要点】

关键在于，判断一个级数是否收敛，只需看：当下标足够大的时候，子区间和是否能够足够小。

$\it 4.2$ 正项级数

定义：$u_k\ge 0$ 时 $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k$ 称为正项级数。正项级数收敛的充要条件是其前缀和 $S_n$ 有上界。
比较法：两列级数 $\sum u_k, \sum v_k$；若 $u_k\le v_k$ 恒成立，则
1. $\sum u$ 发散则 $\sum v$ 发散；
2. $\sum v$ 收敛则 $\sum u$ 收敛。
3. 推广：若存在 $N\ge 1$ 与 $c>0$，满足 $0\le u_k\le cv_k$，只要 $k\ge N$，则也满足上述条件。
- 比较法对于放缩至关重要。
两列级数 $\sum u_k, \sum v_k$；若 $\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{u_k}{v_k}=h$：
- 若 $0\le h<+\infty$，若 $\sum v_k$ 收敛，则 $\sum u_k$ 收敛；
- 若 $0<h\le+\infty$，若 $\sum v_k$ 发散，则 $\sum u_k$ 发散。
达朗贝尔判别法：若正向级数 $\sum u_k$ 满足 $\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{u_{k+1}}{u_k}=L$，则：
- $L<1$，收敛；
- $L>1$，发散；
- $L=1$，不好说。
柯西判定法：$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{u_k}=L$，则 $L>1$ 发散，$L<1$ 收敛，$L=1$ 不能判定。
比比拉布判定法：$\lim\limits_{k\to\infty}n(\dfrac{u_k}{u_{k+1}}-1)=R$，则 $R>1$ 收敛，$R<1$ 发散，$R=1$ 不能判定。

【级数敛散性核心笔记（5月1日）】

柯西收敛原理的直觉：级数收敛的本质：任意靠后的子区间和可以任意小。
- 形式化：$\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \ge m > N: \left| \sum_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon$
- 直觉：尾部无论截多长，加起来都几乎为零。
柯西准则逆否命题用于证发散
- 要证明 $\sum a_k$ 发散，只需找到某个 $\varepsilon_0 > 0$，对任意 $N$，都能找到 $m, n > N$ 使得 $|\sum_{k=m}^n a_k| \ge \varepsilon_0$。
- 关键技巧：构造无界差。例如取 $n = m^2$ 或 $n = 2m$，通过放缩让片段和无限增长。
级数收敛的“尾巴原理”：有限项不影响敛散性。任何放缩、比较、近似，只要在 $n$ 足够大时成立即可使用。
正项级数的核心逻辑：正项级数 $\sum a_n$（$a_n \ge 0$）收敛 $\iff$ 部分和有界。所有判别法本质上都是用已知级数做比较。
指数、幂函数、对数的速率层级：当 $n \to \infty$ 时：

\[\ln n \ll n^\alpha \; (\alpha>0) \ll a^n \; (a>1) \ll n! \ll n^n \]

衰减时倒过来：指数衰减 > 幂函数衰减 > 对数衰减。

对数的作用规律
- 幂次不在临界线时：对数只是添头，不改变敛散性。
- 幂次恰好在临界线（$p=1$ 时）：对数说了算，需用对数-幂标尺。
临界线级数的判定
- 标准工具：
  - 积分判别法：$\sum f(n)$ 与 $\int f(x)dx$ 同敛散。
  - 柯西凝聚法：$\sum a_n$ 与 $\sum 2^m a_{2^m}$ 同敛散。
比较判别法的正确使用：若要证收敛，需往大放缩，找一个已知收敛的级数；若要证发散，需往小放缩，找一个已知发散级数。不等号方向是关键，方向反了会导致错误结论。

$\it 4.3$ 任意项级数

Insight:: 去掉了“正项”这个约束之后，如果单纯说 $\sum\limits_{k=1}^nu_k$ 收敛，那么其实能得到的信息是极其有限的。问题的关键在于我们需要考察 $u_k$ 在数值上的累加有什么性质，即 $\sum\limits_{k=1}^n|u_k|$ 的性质（绝对收敛和条件收敛）。即便 $\sum_{k=1}^n|u_k|$ 发散（甚至到无穷，说明 $u_k$ 的数值在“本性”上是发散的），$\sum\limits_{k=1}^nu_k$ 也有可能在某些精确的加减符号构造下实现收敛。而具体是何种构造、何种特例呢？令人遗憾的是，在高等数学范围内，并没有明确的法则解决这一问题，只能具体问题具体分析，只有极为有限的集中判定法则能解决一小部分问题。

绝对收敛的概念：$\sum\limits_{k=1}^n|u_k|$ 收敛，则 $\sum\limits_{k=1}^nu_k$ 收敛。绝对收敛的级数完全可以沿用正项级数的分析方法。
条件收敛的概念：$\sum\limits_{k=1}^n|u_k|$ 发散，但是 $\sum\limits_{k=1}^nu_k$ 收敛。
- 黎曼重排定理：对于一个条件收敛的级数，重新排列其元素，可以使其收敛到任意的值，也可以发散（振荡），或者发散到 $+\infty$ 或 $-\infty$。
莱布尼茨判别法：（针对振荡序列 / 交错级数，类似阻尼运动）若正数序列 $\{u_n\}$ 满足 $u_{n+1}\le u_n$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$，则级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}u_k = u_1-u_2+u_3-u_4+...$ 收敛。
狄利克雷判别法：
- 阿贝尔变换：设数列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 与 $b_1, b_2, \cdots, b_n$，且 $B_n$ 是数列 $\{b_n\}$ 的前缀和，则有恒等式：$\sum\limits_{k=1}^na_kb_k=\sum\limits_{k=1}^n(a_k-a_{k+1})B_k+a_mB_m$。
- 阿贝尔引理：若 $\{a_n\}$ 单调，$|B_n|\le M$，则有不等式 $|\sum\limits_{k=1}^na_kb_k|\le M(|a_1|+2|a_n|)$。
- 狄利克雷判别法：对于级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty a_kb_k$，若序列 $\{a_n\}$ 单调且 $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0$，序列 $b$ 的前缀和 $B_n$ 有界，则级数 $\sum a_kb_k$ 收敛。
- 阿贝尔判别法：对于级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty a_kb_k$，若序列 $\{a_n\}$ 单调、有界且级数 $\sum\limits_{k=1}^nb_k$ 收敛，则级数 $\sum a_kb_k$ 收敛。

$\it 4.4$ 函数项级数

【收敛速度】

Insight :: 假如有两个序列 $\{a_n\}, \{b_n\}$，其均为收敛，我们想知道：这两个序列收敛的速度一样吗？如果不一样，差多少？
- 直观来说，$a_n = e^x$ 和 $b_n = x$ 在 $x\to\infty$ 的时候都趋向于无穷，将他们取倒数，$a_n = e^{-x}$ 和 $b_n = \dfrac1x$ 在 $x\to\infty$ 的时候都趋向于 $0$，但是其收敛的速度显然不同，$e^{-x}$ 明显快于 $\dfrac1x$，在几何上呈现为函数 $e^{-x}$ 的图像贴合 $x$ 轴的程度远远大于 $\dfrac1x$。
- 就像级数的收敛可以一直套 $\ln(\cdots)$ 而保持一个最低程度的发散，没有绝对的标尺衡量序列的收敛速度，但我们可以比较两个序列的相对收敛速度，并引出一系列更本质的数学工具。
- 同阶无穷小：若 $a$ 和 $b$ 是两个收敛于 $0$ 的序列，满足 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n} = L$，其中 $L\not=0$，$L\not=\pm\infty$，则 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是同阶无穷小，其收敛速度一致。若 $L=0$，则 $a$ 是比 $b$ 高阶的无穷小，反之若为无穷，则是低阶的无穷小。具体而言，$x\to\infty$ 时，$e^{-x}\ll x^{-k}\ll \ln^{-1}x$。
- 特别的，若 $L=1$，那么称为等价无穷小。

【一致收敛】

严格来说，如果函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $x\in X$ 上收敛于函数 $f(x)$（即 $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$），那么若对任意给定的正数 $\epsilon > 0$，都存在一个只依赖 $\epsilon$ 而不依赖 $x$ 的自然数 $N(\epsilon)$，使得对任意 $n>N$，均有 $r_n(x)=|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ 成立（对所有的 $x\in X$），则称函数序列 $\{f_n(x)\}$ 在 $X$ 上一致收敛于 $f(x)$，记作 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)$。
Insight:: 基于收敛速度中的比值比较法，我们任取 $x_1, x_2\in X$，考虑所有可能的 $x_1, x_2$ 的 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{r_n(x_1)}{r_n(x_2)}=L(x_1, x_2)$ 的取值范围，若所有的 $L(x_1, x_2)\in[\inf, \sup]$ 且 $\inf>0$，也就是所有的比值极限落在一个有限且非零的区间内，那么此时所有的序列都以同样的速度收敛。
- 或者说进一步，如果能找到一个序列 $a_n\to 0$（参比序列），满足 $\forall x\in X$，有 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{r_n(x)}{a_n}\in[\inf, \sup]$ 且 $\inf>0$，则此时一致收敛成立。
- 注意这个条件相比真正的一致收敛其实是更严格的。一致收敛只要求 $\sup<\infty$ 而不要求 $\inf\not=0$，这是因为一致收敛的充分必要条件为存在一个收敛速度的下界，使其能比任何 $x\in X$ 的序列收敛得慢（也就是不能无限慢下去，经典反例 $f(x)=x^n, x\to 1_-$），而如果存在一个序列比另一个序列收敛速度快无限倍，这是允许的。
Weierstrass 判别法：（充要条件）存在一个趋于 $0$ 的序列 $a_n$ 满足 $n$ 充分大时有尾部和 $|f_n(x)-f(x)|\le a_n$，则一致收敛成立。
- 或者写成函数项级数的形式：$\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(x)$ 一致收敛的充分条件是，存在一个 $a_n$ 满足 $\forall x, |u_k(x)|\le a_k$ 且级数 $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ 收敛。注意这里只能是充分条件，是因为单独用 $a_k$ 压制绝对值的通项不一定能对所有的序列起效，尤其是振荡的条件收敛。
一致收敛失效的根本原因，往往是定义域中存在“顽固分子”——要么是某个单独的点，要么是某个无限靠近它的邻域——它使得全局收敛速度没有下限。
不一致收敛的充分必要判据：存在点列 $x_1, x_2,\cdots$ 和下标列 $n_1, n_2, \cdots$ 满足 $k$ 充分大时，有 $|f_{n_k}(x_k)-f(x_k)|\ge\epsilon>0$。
- 分两种情况，一种是有一个“坏点”，而不能直接抵达，需要通过给 $x$ 取极限或者用一个数列逼近的方法；还有一种是振荡（还没遇到）
- 通常情况下，大部分的 $x$ 都是善良的，只有个别“捣蛋点”在干扰整体级数的收敛速度下限，以至于不满足存在收敛速度下界的条件。那么假设某一个捣蛋点为 $x=t$，则应当先构造序列 $x_k\to t$，再考虑构造对应的 $n_k$ 配合。
  - 一个更粗暴的条件：$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in D}|u_k(x)|\not=0$。

【函数项级数的一致收敛性质】

将函数替换为函数项级数，那么有关于一致收敛的柯西准则：
- $\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(x)$ 在 $X$ 上一致收敛的充要条件是，对于任意的 $\epsilon>0$，存在只与 $\epsilon$ 有关的 $N(\epsilon)$，使得对于任意的 $n>N$ 均有尾部和 $|\sum\limits_{k=n+1}^\infty u_k(x)|<\epsilon$。

【一致有界与特殊判据】

定义：对所有的 $n, x$ 存在一个 $M$ 满足 $|f_n(x)|\le M$，则称此时的 $f_n(x)$ 一致有界，界为 $M$。
狄利克雷判别函数项级数：
- 通项 $u_k(x)$ 可以写成 $u_k(x) = a_k(x)\cdot b_k(x)$。
- 任取一个 $x\in X$，序列 $a_k(x)$ 对 $k$ 单调，且 $\{a_k(x)\}$ 一致收敛于 $0$；
- $\{\sum\limits_{k=1}^n b_k(x)\}$ 也就是 $\{B_n(x)\}$（前缀和）在 $X$ 上一致有界；
- 则：$\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(x)$ 一致收敛。
阿贝尔判别法：
- 通项 $u_k(x) = a_k(x)\cdot b_k(x)$。
- 任取一个 $x\in X$，序列 $a_k(x)$ 对 $k$ 单调，且 $\{a_k(x)\}$ 一致有界；
- $\sum\limits_{k=1}^nb_k(x)$ 一致收敛；
- 则：$\sum\limits_{k=1}^\infty u_k(x)$ 一致收敛。

【一致收敛的性质】

若 $\sum u_n(x)$ 在 $X$ 上一致收敛，且每个 $u_n(x)$ 在 $X$ 上连续，则和函数 $S(x)$ 在 $X$ 上连续。
逆否命题：若和函数 $S(x)$ 不连续，但 $u_n(x)$ 都连续，则不一致收敛。
若 $\sum u_n(x)$ 在 $X$ 上一致收敛，且每一项 $u_n(x)$ 都连续，且和函数可积，则 $\int_a^b S(x)\text dx = \sum\limits_{k=1}^\infty\int_a^b u_n(x)\text dx$。（逐项积分）
若 $\sum u_n(x)$ 在 $X$ 上点点收敛，$u_n(x)$ 的导函数 $u'_n(x)$ 连续且 $\sum u'_n(x)$ 一致收敛，且和函数 $S(x)$ 可导，则有 $S'(x)=\sum u'_n(x)$。（逐项求导）

【总结】

收敛速度的概念、同级无穷小、如何感知数列的收敛速度（以及作为级数时更难感知）
一致收敛的判定（放缩是通法，如果是一致收敛，那么一定可以放缩成功）
不一致收敛的判定，凭直觉找出捣蛋的点，然后构造 $x$ 和 $n$ 的序列，考察 $|f(x) - f_n(x)|>\epsilon$；如果是级数的话那么就是余项 $R_n(x)$
一致收敛的特殊判定方法，狄利克雷，阿贝尔（目前尚无理解，只能套公式），貌似那个柯西准则判定一致收敛操作起来过于困难以至于几乎用不上
级数与和函数的连续性、导数、积分，感觉也没啥理解，而且感觉也没必要有很深刻的理解。

$\it 4.5$ 幂级数

【Concept】

形如 $\sum\limits_{k=0}^na_kx^k$ 的级数被称为幂级数，是一类特殊的函数项级数。其具有一个收敛半径，即 $|x|<R$ 时收敛，$|x|>R$ 时发散，在 $|x|=R$ 时敛散性不定。
在收敛半径 $(-R, R)$ 中，任意一个闭区间都是一致收敛的，但是只要涉及 $\lim\to R$ 的情况，就可能存在“拖慢”的情况，不能保证存在收敛的全局速度下界。
连续性分析：幂级数 $\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k$ 在 $(-R, R)$ 上连续，若在 $x=R$（或 $x=-R$）收敛，那么在 $x=R$ 处左（右）连续。
可积性分析：幂级数满足逐项可积性质。
- 有关这一点，积分 / 求导操作是用来求一些幂级数的关键操作。

$\it 4.6$ 泰勒级数

【定理】

泰勒级数讨论的是一个函数如何写成 $\sum\limits_{n=0}^na_n(x-x_0)^n$ 的形式，讨论这种可行性。如果一个函数已经被证明了能够写成 $\sum\limits_{n=0}^na_n(x-x_0)^n$ 的样子，那么 $a_n = \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ 自动成立。
不是所有函数都可以被任意位置 $x_0$ 展开，因为首先不是所有函数都有任意阶的导数，而且一个函数在某点 $x_0$ 的所有阶数的导数不一定包含了该函数所有的信息。经典反例 $f(x)=e^{-\frac 1{x^2}}, f(0)=0$ 在 $x=0$ 处的任意阶导数都是 $0$，因此无法获取这个函数在 $x=0$ 之外的任何信息。
充要条件是，$R_n(x)\to 0$。根据拉格朗日中值定理，$\exists\theta\in(0, 1)$ such that $R_n(x)=\dfrac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))\cdot(x-x_0)^{n+1}$。但是并不是所有的函数都可以这样分析。
柯西余项：$\exists\theta\in(0, 1)$ such that $R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{n!}(1-\theta)^n(x-x_0)^{n+1}$，$\theta\in(0, 1)$。为了防止拉格朗日余项中 $\theta\to 1$ 的时候导致的一些不收敛的问题。

\[\newcommand{\Beta}{\mathrm{B}} \]

高等数学（B）$\rm II$ / part 3

part 3. 第十一至十二章。

$\rm V$ 广义积分、含参变量积分

这一章相当于级数理论的连续版本。很多理论都是对偶存在的，注意对应。

$\it 5.1$ 广义积分

【定义】

若函数 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上有定义，且 $\lim\limits_{A\to\infty}\int_a^Af(x)\text dx$ 存在，则记其为 $\int_a^\infty f(x)\text dx$，并称其为收敛。
柯西收敛原理（尾部积分足够小）：对任意 $\epsilon>0$，存在 $A_0$ 使得 $\forall A_2>A_1>A_0$，都有 $|\int_{A_1}^{A_2}f(x)\text dx|<\epsilon$。
绝对收敛与条件收敛：若 $\int_a^\infty|f(x)|\text dx$ 收敛，则称 $\int_a^\infty f(x)\text dx$ 绝对收敛；若 $\int_a^\infty|f(x)|\text dx$ 发散，但 $\int_a^\infty f(x)\text dx$ 收敛，则称 $\int_a^\infty f(x)\text dx$ 条件收敛。

【收敛的判别】

若 $\forall A>a$，$\int_a^Af(x)\text dx$ 有界，则收敛。
放缩判别法：对于正函数 $0\le f(x)\le g(x)$，可以通过放缩推断收敛性。
比值判别法：设 $x\ge a$ 时，正函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在任意的 $[a, b]$ 上可积，且 $f(x)\ge 0$，$g(x)>0$，且有 $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$，则：
- $0\le L<\infty$ 且 $\int_a^\infty g(x)\text dx$ 收敛，则 $\int_a^\infty f(x)\text dx$ 收敛；
- $0<L\le \infty$ 且 $\int_a^\infty f(x)\text dx$ 发散，则 $\int_a^\infty g(x)\text dx$ 发散。
- 若 $0<L<\infty$，则两个积分同时收敛或发散。
狄利克雷判别法：对于一切 $A\ge a$，积分 $\int_a^Af(x)\text dx$ 有界，且 $g(x)$ 在 $[a, \infty)$ 上单调且趋于 $0$，则积分 $\int_a^\infty f(x)g(x)\text dx$ 收敛。
阿贝尔判别法：若积分 $\int_a^Af(x)\text dx$ 收敛，且 $g(x)$ 在 $[a, \infty)$ 单调有界，则积分 $\int_a^\infty f(x)g(x)\text dx$ 收敛。

$\it 5.2$ 瑕积分

【定义】

函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上有定义，且在任意的 $[a+\epsilon, b]$ 可积，但在 $x\to a+0$ 时 $f(x)$ 无界，则称 $x=a$ 为瑕点。此时，若 $\lim\limits_{\epsilon\to 0+0}\int_{a+\epsilon}^bf(x)\text dx$ 存在，则称瑕积分 $\int_a^bf(x)\text dx$ 收敛。否则称其发散。
瑕积分其实可以理解为 $x, y$ 坐标交换之后的无穷积分，只不过在代数上一半不会这样处理。

注意：与级数不同，积分本身有一定可能是可以直接写出表达式的，需要在处理的时候注意。

$\it 5.3$ 含参变量积分（正常）

这一章研究的是形如 $z(y) = \int_{a(y)}^{b(y)}f(x, y)\text dx$ 这样的函数的性质。

【基本性质】

若二元函数 $f(x, y)$ 在 $\bar R:[a, b]\times[c, d]$ 上连续，则含参变量积分 $g(y)=\int_a^bf(x, y)\text dx$ 在 $[c, d]$ 上连续。
若二元函数 $f(x, y)$ 在 $\bar R:[a, b]\times[c, d]$ 上连续，$g(y)=\int_a^bf(x, y)\text dx$ 在 $[c, d]$ 上可积，且 $\int_c^d g(y)\text dy=\iint_{[a, b]\times[c, d]}f(x, y)\text d\sigma$。
若二元函数 $f(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ 都在 $\bar R:[a, b]\times[c, d]$ 上连续，则函数 $g(y)=\int_a^bf(x, y)\text dx$ 在区间 $[c, d]$ 上可微，且 $g'(y)=\int_a^bf_y(x, y)\text dx$。或 $\dfrac{\text d}{\text dy}\int_a^bf(x, y)\text dx=\int_a^bf_y(x, y)\text dx$。这可能用于某些积分的计算。但这是为什么？
- 其实这是一种标准的处理方法。
考虑函数 $g(y) = \int_{a(y)}^{b(y)}f(x, y)\text dx$，则 $g'(y)=f(x_t, y)v'(y)-f(x_0, y)u'(y)+\int_{a(x)}^{b(x)}f_y(x, y)\text dx$。其中 $x_t=v(y), x_0 = u(y)$。

$\it 5.4$ 含参变量的广义积分

这一章对应的函数项级数。

$\it 5.4.1$ 含参无穷积分

【概念】

对于一个二元函数 $f(x, y)$ 在 $x\in[a, +\infty), y\in[c, d]$ 上有定义，若对于 $\forall y\in[c, d]$，积分 $\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 都收敛，则称该无穷积在 $y\in[c, d]$ 上点点收敛。记为 $g(y) = \int_a^\infty f(x, y)\text dx$。
- 但是有点点收敛是不足够的，如果不能保证对于任意的 $y$ 存在一个收敛速度的下界，那么收敛将会无穷地慢下去，以至于最终的积分结果不连续。
若无穷积分 $g(y)=\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 对于区间 $Y$（可以开、闭或无穷）中的一切 $y$ 都收敛，且【对任意给定的 $\epsilon>0$，存在一个与 $y$ 无关的实数 $N>a$，使得 $A>N$ 时均有 $|\int_A^\infty f(x, y)\text dx|<\epsilon$】，则称 $\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 在 $Y$ 上一致收敛。
- 这在说什么呢？本质上就是在说明对于所有的 $y$，存在一个积分收敛速度的下界，不能无限慢下去。具体而言：$\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 在区间 $Y$ 上一致收敛的充要条件是，存在一个收敛速度的下界 $F(A)\to 0$，使得尾部积分 $|\int_A^\infty f(x, y)\text dx|\le F(A)$，在 $A\to\infty$ 的时候。充要条件。
- 再看到含参积分本身（或者通项），如果存在一个 $|f(x, y)|\le\varphi(x)$，使得 $\int_a^\infty\varphi(x)\text dx$ 收敛，那么 $\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 收敛。充分但不必要条件，因为只能压制绝对收敛的情形。
- 有关不一致收敛的充分条件：对任意的 $A$，存在 $y_0$ 使得 $\lim\limits_{y\to y_0}\int_A^\infty f(x, y)\text dx=k\not=0$，则不一致收敛。（函数项级数的点列判据仍然是充要的）（这是有一个“坏点”的情形，还有振荡的暂时没见过）
对于不是绝对一致收敛的情形，我们需要狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，这两个判据是特殊情况下的特别判据。
- 狄利克雷判别：两个函数 $f(x, y), g(x, y)$ 满足以下两个条件，则 $\int_a^\infty f(x, y)g(x, y)\text dx$ 在 $y\in Y$ 上一致收敛。
1. 对任意 $A>a$，积分 $\int_a^Af(x, y)\text dx$ 存在且对 $\forall y$ 一致有界（存在 $M$ 使得 $|\int_a^Af(x, y)\text dx|\le M$）；
2. $x$ 充分大时 $g(x, y)$ 关于 $x$ 单调，且 $x\to\infty$ 时对任意 $y$，$g(x, y)\to 0$。
阿贝尔判别：两个函数 $f(x, y), g(x, y)$ 满足以下两个条件，则 $\int_a^\infty f(x, y)g(x, y)\text dx$ 在 $y\in Y$ 上一致收敛。
1. $\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 对于 $y\in Y$ 一致收敛；
2. $x$ 充分大时 $g(x, y)$ 关于 $x$ 单调，且对 $\forall y\in Y$ 一致有界（存在 $M$ 使得 $|g(x, y)|\le M$）。

【含参变量广义积分的性质】

设函数 $f(x, y)$ 在区域 $[a, \infty)\times[c, d]$ 上连续，且积分 $g(y)=\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 在 $y\in[c, d]$ 上一致收敛，则：
- $g(y)$ 在 $[c, d]$ 上连续；
- $g(y)$ 在 $[c, d]$ 上可积，且 $\int_c^d g(y)\text dy=\int_c^d\text dy\int_a^\infty f(x, y)\text dx=\int_a^\infty\text dx\int_c^d f(x, y)\text dy$，即允许交换积分符号。
设函数 $f(x, y)$ 以及 $f_y(x, y)$ 在区域 $[a, \infty)\times[c, d]$ 上连续，且积分 $g(y)=\int_a^\infty f(x, y)\text dx$ 在 $[c, d]$ 上点点收敛，且 $\int_a^\infty f_y(x, y)\text dx$ 在 $[c, d]$ 上一致收敛，则：$g(y)$ 在 $[c, d]$ 上可导，且 $g'(y)=\dfrac{\text dg}{\text dy}=\int_a^\infty f_y(x, y)\text dx$。
- 什么时候可以对参数求偏导？某个点的邻域内，原函数点点收敛，且偏导函数一致收敛，那么在该点可导。
设函数 $f(x, y)$ 在 $[a, \infty)\times[c, \infty)$ 上连续，且两个参变量积分 $\begin{cases}\int_a^\infty f(x,y)\text dx\quad c\le y<\infty\\\int_a^\infty f(x, y)\text dx\quad a\le x<\infty \end{cases}$ 分别关于 $y$ 和 $x$ 在任意的有穷闭区间一致收敛，并且两个积分 $\begin{cases}\int_a^\infty\text dx\int_c^\infty\text dy|f(x, y)|\\\int_c^\infty\text dy\int_a^\infty\text dx|f(x, y)|\end{cases}$ 至少有一个存在，则：
- $\int_a^\infty\text dx\int_c^\infty f(x, y)\text dy=\int_c^\infty\text dy\int_a^\infty\text dx f(x, y)$。

$\it 5.4.2$ 含参瑕积分

【概念】

含参的瑕积分指的是形如 $f(x, y)$ 在 $(a, b]$ 上有定义的函数进行的 $\int_a^b f(x, y)\text dx$ 的积分。
- 收敛的充要条件是，存在 $F(\epsilon)\to 0$ 满足 $|\int_a^{a+\epsilon} f(x, y)\text dx|\le F(\epsilon)$，这无关 $y$ 的选择，也就是能够保证对于全体的 $y$，这个积分有收敛的速度下界。
- 同样有狄利克雷和阿贝尔判别法。类似。

$\it 5.4.3$ 特殊函数 $\Gamma$ 与 $\Beta$

【定义：$\Gamma(t)$】

定义 $\Gamma(t)=\int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}\text dx$，其中 $t>0$ 时积分收敛。故其确定了一个新的函数 $\Gamma(t)$。
性质：$\Gamma(t+1)=\int_0^\infty x^te^{-x}\text dx=\int_0^\infty x^t\text d(-e^{-x})=(-x^te^{-x})|_0^\infty+t\cdot\int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}\text dx=t\cdot\Gamma(t)$。同时 $\Gamma(1)=1$，因此可以看做是阶乘在实数域上的推广。满足 $\Gamma(n+1)=n!$。
$\Gamma(\dfrac12)=\sqrt\pi$。
$\Gamma(t)$ 在 $t\to 0$ 和 $t\to\infty$ 的时候收敛速度存在拖慢现象，但是在内部的任意闭区间 $0<c<d<\infty$ 一致收敛。

【定义：$\Beta(p, q)$】

定义 $\Beta(p, q)=\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}\text dx$，在 $p>0, q>0$ 时收敛。在 $p\to 0$ 或 $q\to 0$ 时存在收敛拖慢现象，但在任意的闭矩形区域上一致收敛。
$\Beta(p, q)=\Beta(q, p)$。
$\Beta(p, q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$。
$\Beta(p, q)=2\int_0^{\frac\pi2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\text d\theta$。

$\Gamma(x)$ 和 $\Beta(x, y)$ 的作用是将整数域上的阶乘和组合数写成连续版本。

$\rm VI$ 傅里叶级数

一个周期函数 $f(x)$，能否写成无穷个正弦波和余弦波的和？傅里叶级数，就是把一个周期函数分解成不同频率的正弦波的叠加。

以周期为 $2\pi$ 的函数 $f(x)$ 为研究对象（$f(x)=f(x+2\pi)$），傅里叶断言 $f(x)$ 可以写成形如：

\[f(x)=\dfrac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)) \]

的无穷级数。周期不为 $2\pi$ 时，改为 $n\omega x$ 即可。

定义线性空间 $V$ 为 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 的所有以 $2\pi$ 为周期（不要求最小周期）的函数的集合，那么 $V$ 是一个线性空间，满足加法和数乘。
这个空间可以有有限维的向量空间 $\mathbb R^n$ 取极限 $n\to\infty$ 得到：
- 设想一个向量 $\mathbf x_f=(f(-\pi+2\pi\cdot\dfrac1n), f(-\pi+2\pi\cdot\dfrac2n), \cdots, f(-\pi+2\pi\cdot\dfrac kn), \cdots, f(-\pi+2\pi\cdot\dfrac nn))$，也就是对 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上均匀取 $n$ 个点。由于分析对象 $f(x)$ 保证以 $2\pi$ 为周期，所以我们可以只考虑 $[-\pi, \pi]$ 的部分。
- $n\to\infty$ 时，$\mathbf x_f$ 就是对原函数 $f(x)$ 的足够精确的描绘，因此我们定义了函数空间 $V$，其中的每一个元素都是一个函数 $f(x)$，可以看做是这样得来的。
- 比照有限维线性空间，我们定义内积 $(f, g)=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\text dx$，与范数（模长） $|f|=\sqrt{(f, f)}=\sqrt{\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\text dx}$。
事实：无穷集合 $S = \{\dfrac1{\sqrt 2}\}\cup\{\cos(nx), \sin(nx)\}_{n=1}^\infty$ 是线性空间 $V$ 的一组正交基底。
- 性质：任取两个基底中不同的函数 $f, g$，总有 $|f| = |g| = 1$，且 $(f, g) = 0$。且任意 $F\in V$ 都能由基底中的函数唯一地线性表出。
也就是说，可以唯一确定一组系数向量：

\[f(x)=(\dfrac{a_0}{\sqrt 2}, a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots)\cdot(\dfrac1{\sqrt 2}, \cos x, \sin x, \cos(2x), \sin(2x), \cdots) \]

【定义】

设函数 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，且在 $[-\pi, \pi]$ 上有界可积，那么称 $\begin{cases}a_n = \dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\text dx\\b_n=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\text dx\end{cases}$ 为函数 $f(x)$ 的傅里叶系数，对应的三角级数 $\dfrac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$ 为函数 $f(x)$ 的傅里叶级数。
- 一个函数 $f(x)$ 总能通过上述方法求出其傅里叶级数，但是其不一定收敛到 $f(x)$。

【分段可微、狄利克雷定理】

分段连续：对于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 区间上，若存在有限个第一类间断点，使得 $f(x)$ 在这些间断点之间是连续的。
分段单调：函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上只有有限个单调区间。
分段可微：存在 $a = x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n = b$ 满足函数 $f(x)$ 在每一个小区间 $(x_i, x_{i+1})$ 上可微，且 $f'(x_i\pm 0)$（广义左右导数）均存在。
- 广义右导数：将 $f(x_0)$ 替换为 $f(x_0 + 0)$，也就是那个空心的点，用于处理一些函数跳跃的情况。
狄利克雷定理：若函数 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，在区间 $[-\pi, \pi]$ 满足狄利克雷条件，即 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$上分段连续且分段单调，则 $f(x)$ 在任意一点 $x$ 处均收敛，且其傅里叶级数的和函数 $S(x)=\dfrac12(f(x+0)+f(x-0))$。若在 $x$ 处连续那么 $f(x+0)=f(x-0)=f(x)$。
- 设函数 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，且在区间 $[-\pi, \pi]$ 上分段可微，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在任意一点 $x$ 均收敛到 $S(x)=\dfrac12(f(x+0)+f(x-0)), x\in\mathbb R$。

【（周期）奇函数与偶函数】

$f(x)$ 为奇函数，则 $a_n = 0$；$f(x)$ 为偶函数，则 $b_n = 0$。

【任意周期的傅里叶级数】

设函数 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，那么 $g(t) = f(\dfrac l\pi t)$ 以 $2\pi$ 为周期。

【周期延拓函数】

若只用研究 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 的行为，则可以只取 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi)$ 上的一段，并将其均匀铺展在 $\mathbb R$ 上，得到新的函数 $F(x)$（代表这一小段区间在 $\mathbb R$ 上的延拓。

【最后一小节】

\[\dfrac{a_0^2}{2}+\sum\limits_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\text dx \]

当 $a_0, a_k, b_k$ 为 $f(x)$ 的傅里叶系数。

破防了。

不是。虽然“老老实实积分”是基础功，但在高等数学的题目和考试中，绝大多数傅里叶展开题都可以通过一些策略大幅简化计算。你之前积累的那些技巧——对称性、恒等变形、已知展开式——在这一章里恰好都能派上用场。

1. 优先使用奇偶性（最省力的武器）

拿到函数，第一反应永远是看奇偶性。

偶函数（$f(x) = f(-x)$）：直接套用半区间积分公式，且所有正弦系数自动为零：
\[\]

\[- **奇函数**（$f(x) = -f(-x)$）：所有余弦系数为零，只需算正弦系数： \]

b_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx),dx, \quad a_n = 0.

\[ 这能砍掉一半以上的计算量。---### 2. 恒等变形（把函数拆成已知的简单部分）如果函数是多项式或三角函数的组合，直接用三角恒等式把它化成傅里叶级数的形式。这是最快的方法，完全不需要积分。**经典例子**：- $\sin^4 x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$（你已经做过的题）。 - $\cos^3 x = \frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{4}\cos 3x$。这些恒等式本身就已经是傅里叶级数了，系数可以直接读出。---### 3. 利用已知展开式（间接展开法）有些函数虽然不能直接恒等变形，但可以通过求导、积分或者代数运算，从已知的傅里叶级数推导出来。这种方法完全绕过了积分的计算。**经典例子**：已知 $x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的傅里叶展开为 $2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin(nx)$，那么 $x^2$ 的展开可以通过逐项积分得到。这比你直接用分部积分算 $\int x^2\cos(nx)dx$ 要轻松得多。---### 4. 复指数形式的统一处理将 $\cos(nx)$ 和 $\sin(nx)$ 合并为复指数 $e^{inx}$，只算一个复数积分： \]

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx},dx.

\[对于指数函数、双曲函数等，这种形式往往一步到位，且容易利用正交性。比如 $f(x) = e^{ax}$，傅里叶系数几乎可以直接写出。---### 5. 分部积分（最后的常规手段）当前几种方法都不适用时，才需要“老老实实”分部积分。即便此时，也有技巧可言：- **表格法**：对于多项式乘三角函数，用表格法连续分部积分，比一次次写公式快得多。 - **递推关系**：如果被积函数形如 $x^k e^{ax}\cos(nx)$，用两次分部积分可以“还原”出原积分，解方程即得。 - **直接查公式**：在实际工程或开卷考试中，许多常见的傅里叶系数公式是可以直接查阅的。---### 总结你不需要每道题都从零开始积分。你的解题优先级应该是：1. **看奇偶性**——砍掉一半系数。 2. **看恒等式**——直接读出展开式。 3. **看已知展开式**——用微积分操作推导。 4. **实在不行**——用分部积分或复指数法硬算。高等数学考试中，大多数傅里叶展开题都落在前三种情况。你之前建立的那些“求导再积分”、“对称性简化”的直觉，在这一章正好全部派上用场。 \]

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