一、概率分布协方差
玩家X和Y正在进行三场游戏，每场要么赢1美元，要么输1美元，在第一场游戏中，有两种可能的结果，两个玩家都各赢1美元，或者两个玩家都各输1美元，这里是两种可能性，要么它们都赢1美元，要么它们都输1美元，其中横坐标是一个玩家的表现，纵坐标是另一个玩家的表现，每种情况发生的概率都是1/2，在第二场游戏中，可能发生两种情况，第一个玩家可以赢1美元，第二个玩家输1美元，或第一个玩家输1美元，第二个玩家赢1美元，我们称这些玩家为X和Y，所以X是第一个玩家，Y是第二个玩家，这个游戏的图在这里，其中一半的时间发生的情况是一个玩家赢1美元，另一个玩家输掉它，另一半时间是一个玩家输1美元，另一个玩家赢得它，两种情况的概率都是1/2，X坐标告诉你第一个玩家赢了什么或输了什么，Y坐标告诉你第二个玩家赢了什么或输了什么，在第三场游戏中，可能发生更多情况，两个玩家都可以赢1美元，两个玩家都可以输1美元，1个玩家可以赢，另一个玩家输，或者另一个玩家赢，第一个玩家输，所以有四种可能性，基本上，A,B,C,D，都是1/4的概率
对于玩家X和玩家Y来说，这三场游戏有多相似，首先，我们将独立地检验它们，所以X是玩家X赢得多少美元，Y是玩家Y赢得多少美元，那么让我们首先看看X在第一场游戏中赚了多少，正如你可能想象的，这将是期望值，我们只看横坐标，因为我们在看第一个玩家，所以可能是1/2的概率赢1美元，或者以1/2的概率输1美元，这等于0，所以第一个玩家的期望值是0，第二个玩家也是一样，它们以1/2的概率赢1美元或输1美元
第二场游戏也发生同样的情况，对于第一个玩家，它们可以赢1美元或输1美元，这等于零，对于第二个玩家，它们可以赢1美元或输1美元，所以，再次，这等于0，所以这个游戏对第一个和第二个玩家有相同的期望值
现在第三场游戏，可能发生四种情况，你可以赢1美元或再赢1美元，或者你可以输1美元或再输1美元，这再次加起来等于0，第二个玩家也是一样，
所以如果你一次只考虑一个玩家，这些游戏基本上是相同的，就期望值而言，每个玩家在一天结束时，它们玩很多，很多次，它们最终会赢得零，所以这些期望值并不能真正区分这些游戏，现在方差会发生什么，让我们计算每个游戏的方差，对于第一场游戏，这是方差的计算，期望值是0，所以我们只关心x1平方的期望值，是1，
实际上所有这些都将是1，所以这些游戏在期望值方面非常相似，在x方差方面，以及在y方差方面，但显然，它们是不同的游戏，然而，差异在哪里？差异在于你必须同时看两个玩家，否则，游戏对每个玩家都是相同的，第一个玩家只是赢1美元或输1美元，所以我们需要看协方差，协方差将区分这三个游戏，
回想一下这是数据集协方差的公式，我们将为这三个游戏计算它，所以让我们为第一场游戏做计算，这里是x和y，现在我们中心化x和y，这没有任何改变，因为x的μ和y的μ都是0，当我们将它们相乘时，看看会发生什么，我们得到一个1和一个1，因为要么它们都赢得1美元，要么它们都输掉1美元，所以乘积都是1，当我们把这些相加时，我们会得到2，平均值将是1，因为我们必须除以2，所以第一个游戏的协方差是1，协方差为正这一事实显示了这里的相关性，即玩家一赢得多，玩家2也赢得越多，所以要么它们都高兴，要么它们都难过，
看看游戏二，它完全相反，当一个高兴时，另一个就难过，当一个难过时，另一个就高兴，同样，这些均值都是0，在我们得表格中，要么一个赢得1，另一个输掉1，反之亦然，这两个数得乘积总是负1，因为1乘以负1等于负1，负1乘以1等于负1，所以当我们把它们相加时，得到负2，当我们求平均值时，得到负1，所以这个游戏得协方差是-1，这反映了这样一个事实，即它们在这条对角线上形成了这种模式，这意味着要么一个高兴另一个难过，要么一个难过另一个高兴，
最后，游戏3，我们来进行计算，可能发生四种情况，它们都赢，它们都输，或者一个赢另一个输，反之亦然，同样，我们看到均值是0，所以我们要做这个表格，其中这些是x可能发生的情况，这些是y可能发生的情况，中心化没有区别，因为均值是0，当我们将它们相乘时，得到两个1和两个-1，我们得到所有可能的四种情景，这将是0，当我们除法求平均值时，再次得到0，所以这个协方差是0，这表明它们之间并没有真正的模式，它们有所有四种可能性，所以我们无法真正推断，如果我们知道一个玩家高兴，我们不知道另一个是高兴还是难过，反之亦然，因为它们彼此更加独立
我们有这三个游戏，游戏一，游戏二，和游戏三，在游戏一种，它们都赢或都输，同时，游戏二更像是0和游戏，一个赢另一个输，在游戏三种，任何情况都可能发生，在第一个游戏中，我们的协方差是1，在第二个中，协方差是-1，在第三个中，协方差是0，
现在让我们介绍另一个游戏，游戏四，游戏四有以下三种结果，要么两个玩家每人都赢得1美元，要么两个玩家每人都输掉1美元，要么两个玩家都不赢也不输任何东西，所以这三种情况可能发生，两个玩家都赢得1美元，两个玩家都输掉1美元，什么都不发生，但概率是不相等的，所以两个玩家都赢得1美元的概率是1/2，两个玩家都输掉1美元的概率是1/3，什么都不发生的概率是1/6，这些在这里得到了说明，所以现在如果我们只看一个玩家，X玩家，它们游戏的期望值是多少，它将是值的加权平均，也就是1/6，对另一个玩家来说也一样，也是1/6，所以每个玩家平均每次玩这个游戏赢得1/6，现在让我们看看方差，最后得到0.806，它与Y的方差相同，那么协方差是多少呢，
协方差是坐标乘积的平均值，但那是当我们有相等概率时，那是很久以前的事了，现在我们不再有相等的概率，我们有1/2，1/6和1/3，所以我们要做的就是乘以概率，所以这就是一般情况下发生的事情，你只需乘以概率，X坐标和Y坐标的乘积，X的协方差，Y也可以这样表达，这实际上与方差公式非常相似，除了你有不同的X和Y，如果你要说X的协方差，X，你得到X平方的期望减去X的期望的平方，这与方差是一样的，
所以如果我们要计算这个，我们只需要用概率乘以X坐标乘以Y坐标，在中心化它们之后，这些是均值和方差，所以我们在这里得到这个计算，这里是第一个点的，X,Y的协方差是0.806，这是一个正协方差，因为它们一起赢一起输，所以有那种对角线显示玩家A的结果可以帮助我们推断玩家B的结果
现在让我们回到电话等待时间和客户评分的例子，回想一下我们有两个边际分布，X和Y，现在我们想要找到协方差，我们有某种向下向右的对角线，这意味着负协方差，因为你可以想象你等待得越久，你给出得评分就越低，等待得越少，你给出得评分就越高，所以这些是负相关的，因此，协方差可能是负的，但让我们实际计算一下，当我们找到X的期望值Y时，最后结果是-7.878，
让我为了清楚起见重复这个计算，这是协方差的公式，这是我们计算出的X和Y的两个期望值，以及X,Y的期望值，所以协方差就是XY的期望减去X的期望乘以Y的期望
二、协方差矩阵
我们计算了联合分布的方差或协方差，我们看了儿童年龄和身高的离散联合分布，成绩和小睡，