高中的不等式

不等式（★）

① 均值不等式链

\[\sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \geqslant \frac{\sum a_i}{n} \geqslant \sqrt[n]{\prod a_i} \geqslant \frac{n}{\sum \frac{1}{a_i}} \]

二元形式：

\[\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geqslant \frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab} \geqslant \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}, \quad \text{当且仅当 } a = b \text{ 取等} \]

其中常用的为 \(\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}\)。

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常用方法：

1. 齐次：如 \(x + 2y = 2xy\) 考虑化为 \(\frac{x}{y} + \frac{2y}{x} = 1\)。
2. 乘1：乘上所求式化为互倒的形式。
3. 硬解：一般无思路直接对条件硬解出 \(x, y\) 表达式再做。
4. 取等条件不互斥时连续运用：

eg1: 已知 \(a, b > 0\)，求 \(\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} + b\) 最小值。

原式 \(\geqslant 2\sqrt{a \cdot \frac{a}{b^2}} + b \geqslant 2\sqrt{2}\)。
① \(a^2 = b\) 取等；② \(b^2 = 2\) 取等 ⇒ \(a = b = \sqrt{2}\) 取等。

5. 对数运算性质的考察：

eg2: \(a > 1, b > 1\), \(\log_2 a = \log_3 4\)，求 \(ab\) 最小值。

条件变形为：\(\log_2 a \cdot \log_2 b = 4 \leqslant \left( \frac{\log_2 ab}{2} \right)^2\)
⇒\(\log_2 ab \geqslant 4\)
\(ab \geqslant 2^4 = 16\)。
当且仅当 \(a = b = 4\) 时取等。

6. 三角换元处理：

eg3: 若 \(x^2 + y^2 \leqslant 1\)，求 \(x^2 + xy - y^2\) 取值范围。

设 \(\begin{cases} x = r\cos\theta \\ y = r\sin\theta \end{cases}, \quad (r \in (0,1])\)
所求式 = \(r^2(\cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta - \sin^2\theta)\)
= \(r^2(\cos2\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta)\)，记为 \(T\)。
∴ \(-\frac{\sqrt{5}}{2}r^2 \leqslant T \leqslant \frac{\sqrt{5}}{2}r^2\)
⇒ \(T \in \left[ -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} \right]\)

7. 配方法三角换元：

eg4: 若 \(x, y \in \mathbb{R}\) 满足 \(x^2 + y^2 - xy = 1\)，求 \(x + y\)、\(x^2 + y^2\) 取值范围。

条件化为：\((x - \lambda y)^2 + \lambda y^2 = 1 \Rightarrow x^2 - 2\lambda xy + \lambda^2 y^2 + \lambda y^2 = 1\)
⇒ \(\begin{cases} \lambda^2 + \lambda = 1 \\ \lambda \ne 1 \end{cases}\) ⇒ 条件化为：\((x - \frac{1}{2}y)^2 + \frac{3}{4}y^2 = 1\)
记 \(x - \frac{1}{2}y = \cos\theta\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}y = \sin\theta\)
\(x + y = \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta \in [-2, 2]\)
\(x^2 + y^2 = (\cos\theta + \frac{1}{\sqrt{3}}\sin\theta)^2 + (\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta)^2\)
= \(\frac{4}{3} + \frac{2}{3}\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) \in \left[ \frac{2}{3}, 2 \right]\)

8. 柯西(Cauchy)不等式：

记向量 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\), \(\vec{b} = (x_2, y_2)\)
\(|\vec{a}| |\vec{b}| \geqslant \vec{a} \cdot \vec{b}\)
⇒ \(\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \geqslant x_1x_2 + y_1y_2\)
⇒ \((x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2) \geqslant (x_1x_2 + y_1y_2)^2\)
\(\cos\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = 1\) 时取等，即 \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\) 时取等。

9. 权方和不等式：

在 Cauchy 不等式中令：\(x_i = \frac{a_i}{\sqrt{b_i}}\), \(y_i = \frac{a_2}{\sqrt{b_2}}\)，\(x_2 = \sqrt{b_1}\), \(y_2 = \sqrt{b_2}\)
⇒ \((\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2})(b_1 + b_2) \geqslant (a_1 + a_2)^2\)
⇒ \(\frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} \geqslant \frac{(a_1 + a_2)^2}{b_1 + b_2}\)
当且仅当 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}\) 时取等。

下面介绍加权不等式：

10. 杨(Young)不等式：

若 \(p > 1, q > 1\) 且 \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，
\(\forall a, b \geqslant 0\)，有 \(ab \leqslant \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\)。

证明：

记 \(\varphi(t) = \frac{t^p}{p} + \frac{b^q}{q} - bt\)，其中 \(b, p, q\) 为常数。
\(\varphi'(t) = t^{p-1} - b\)，令其等于0。
⇒ \(\varphi'(t_0) = t_0^{p-1} - b = 0 \Rightarrow t_0 = b^{\frac{1}{p-1}} = b^{\frac{q}{p}}\)
\(\varphi''(t) = (p-1)t^{p-2} > 0\)，故 \(t_0\) 为全局极小点。
\(\varphi(t_0) = \frac{1}{p}(b^{\frac{q}{p}})^p + \frac{b^q}{q} - b^{\frac{q}{p}+1}\)
= \(\frac{1}{p}b^q + \frac{1}{q}b^q - b^q\)
= \(b^q(\frac{1}{p} + \frac{1}{q}) - b^q = b^q \cdot 1 - b^q = 0\)。
∴ \(\forall t \geqslant 0\)，有 \(\varphi(t) \geqslant 0\)，得证，且 \(a = b^{\frac{q}{p}}\)，即 \(a^p = b^q\) 取等。

当 \(p = q = 2\) 时，构不等式等价于 AM-GM 不等式。

11. Hölder 不等式（二元）：

\(p > 1, q > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)，则有：
\(a_1b_1 + a_2b_2 \leqslant (a_1^p + a_2^p)^{\frac{1}{p}} (b_1^q + b_2^q)^{\frac{1}{q}}\)

证明：令 \(A = (a_1^p + a_2^p)^{\frac{1}{p}}\), \(B = (b_1^q + b_2^q)^{\frac{1}{q}}\)
\(\alpha_i = \frac{a_i^p}{A}\), \(\beta_i = \frac{b_i^q}{B}\)
⇒ \(\alpha_1^p + \alpha_2^p = 1\), \(\beta_1^q + \beta_2^q = 1\)。

由杨不等式：
\(\begin{cases} \alpha_1\beta_1 \leqslant \frac{\alpha_1^p}{p} + \frac{\beta_1^q}{q} \\ \alpha_2\beta_2 \leqslant \frac{\alpha_2^p}{p} + \frac{\beta_2^q}{q} \end{cases}\)
相加即证：\(\frac{\alpha_1^p}{p} + \frac{\alpha_2^p}{p} + \frac{\beta_1^q}{q} + \frac{\beta_2^q}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\)
⇒ \((\frac{a_1}{A})^p = (\frac{b_1}{B})^q\) 时取等。

12. 广义权方和不等式：

\(\frac{x_1^p}{y_1^{p-1}} + \frac{x_2^p}{y_2^{p-1}} \geqslant \frac{(x_1 + x_2)^p}{(y_1 + y_2)^{p-1}}\)，其中 \(y_1, y_2 \geqslant 0\)。

13. 闵可夫斯基不等式：

\(\left( (a_1 + b_1)^p + (a_2 + b_2)^p \right)^{\frac{1}{p}} \leqslant (a_1^p + a_2^p)^{\frac{1}{p}} + (b_1^p + b_2^p)^{\frac{1}{p}}\)
当且仅当 \(a_i = k b_i\) 时取等。

特例：\(p = 2\) 时：
⇒ \(\sqrt{(a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2} \leqslant \sqrt{a_1^2 + a_2^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2}\) ,该式较为常用。
从几何角度为 \(|\vec{a} + \vec{b}| \leqslant |\vec{a}| + |\vec{b}|\)。

以上大部分加权不等式仅供了解，正常难以遇到。

14. 拉格朗日乘数法（较为通用解法）：

已知条件约束 \(g(x_i) = 0\)，求 \(f(x_i)\) 极值：
记 \(\mathcal{L}(x_i, \lambda) = f(x_i) - \lambda g(x_i)\)
解方程组：

\[\begin{cases} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = 0 \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0 \end{cases} \]

得出结果带回即可。

请注意该算法利用的是必要条件，得出的是驻点不一定为极值点。

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