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题解：洛谷 P1090 合并果子

news 2026/8/10 12:35:18

【题目来源】

洛谷：P1090 [NOIP 2004 提高组] 合并果子 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 $n-1$ 次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为 $1$ ，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 $3$ 种果子，数目依次为 $1$ ，$2$ ，$9$。可以先将 $1$ 、 $2$ 堆合并，新堆数目为 $3$ ，耗费体力为 $3$。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 $12 $，耗费体力为 $12 $。所以多多总共耗费体力 $=3+12=15$。可以证明 $15$ 为最小的体力耗费值。

【输入】

共两行。第一行是一个整数 $n(1\le n\le 10000)$ ，表示果子的种类数。

第二行包含 $n$ 个整数，用空格分隔，第 $i$ 个整数 $a_i(1\le a_i\le 20000)$ 是第 $i$ 种果子的数目。

【输出】

一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于 $2^{31}$。

【输入样例】

3
1 2 9

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 $n$ 堆果子，每次合并两堆，耗费体力为两堆重量之和。求合并成一堆的最小总耗费。这是一个哈夫曼编码（Huffman）问题，关键在于每次选择重量最小的两堆合并，使大重量堆尽可能少参与合并。
算法选择：
- 贪心策略（哈夫曼算法）：每次选择当前重量最小的两堆合并，新堆重量入队，重复直至只剩一堆
- 小根堆（优先队列）：$O(\log n)$ 获取最小值，$O(\log n)$ 插入新值
关键步骤：
- 读入数据：$n$ 和 $n$ 堆果子的重量，全部入小根堆
- 贪心合并（堆中元素 $> 1$ 时循环）：
  - 取出最小堆 $a$ 和次小堆 $b$
  - res += a + b
  - 将 a + b 入堆
- 输出 res
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：$O(n \log n)$，每次堆操作 $O(\log n)$，共 $n-1$ 次合并
- 空间复杂度：$O(n)$，小根堆
哈夫曼贪心策略的核心思想：
- 局部最优性：每次合并最小的两堆，保证当前步骤耗费最小
- 全局最优性：通过交换论证可证明，任何非贪心选择都可以通过调整为贪心选择而不增加总耗费
- 大重量堆的延迟合并：重量大的堆应尽量少参与合并（每次合并都会累加其重量到总耗费），贪心策略确保大堆在后期才被合并，参与次数最少
- 小根堆的高效性：排序后数组插入需要 $O(n)$，小根堆将插入降为 $O(\log n)$，是标准实现
- 适用于"最小代价合并"问题，核心在于哈夫曼贪心策略的正确性证明和小根堆的高效实现

【解题思路】

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, ans=0;
int a[10005] ={0};
int main()
{cin >> n;  // 输入nfor (int i=0; i<n; i++)   // 输入n堆果子的重量cin >> a[i];sort(a, a+n);  // 按照从小到大方式排序for (int i=1; i<n; i++)   // 遍历n堆果子{ans += a[i-1] + a[i];  // 统计两堆之和a[i] = a[i-1] + a[i];  // 将两堆之和赋值给当前堆for (int j=i+1; j<n; j++)   // 将当前苹果堆插入到后面的苹果中，按照重量小的排前面的方式if (a[j-1] > a[j]) swap(a[j-1], a[j]);}cout << ans << endl;  // 输出总重量return 0;
}

// 使用小根堆再做一遍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[10005], res;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;  // 小根堆
int main()
{cin >> n;for (int i=1; i<=n; i++) {int x;cin >> x;q.push(x);}int res = 0;while (q.size()>1) {int a = q.top(); q.pop();int b = q.top(); q.pop();res += a+b;q.push(a+b);}cout << res << endl;return 0;
}

【运行结果】