29、时不变不确定性与矩阵结构奇异值分析

时不变不确定性与矩阵结构奇异值分析

1. 时不变不确定性相关结论

在研究时不变不确定性时，存在一些需要注意的要点。在建立必要性的过程中，我们在步骤“(a) 意味着 (c)”中使用了一个常数、复扰动 $\Delta_0$。这是合理的，因为我们处理的是复信号和系统。然而，如果我们希望将时域信号限制为实值（这是常见的做法），那么这种使用就不被允许，此时必要性方向将不成立。

另一个重要结论是，测试 $\mu(M, \Delta_{TI}) < 1$ 恰好简化为一个在频率轴上的矩阵结构奇异值条件。此后，我们将专门关注后者问题，因为它为计算系统的良好连通性提供了直接途径。

2. 矩阵结构奇异值及其上界

为了研究和计算矩阵 $M$ 的结构奇异值，我们首先考虑与扰动可交换的矩阵集合 $\Omega$，即对于所有 $\Delta \in \Delta_{s,f}$，有 $\Omega\Delta = \Delta\Omega$。将范围限制为正定矩阵，可交换集合具有以下形式：
$\Omega_{s,f} = { \mathrm{diag}(\Omega_1, \cdots, \Omega_s, \gamma_{s+1}I, \cdots, \gamma_{s+f}I) : \Omega_k \in \mathcal{H}{m_k}, \Omega_k > 0 \text{ 且 } \gamma_k > 0 }$
其中，$\mathcal{H}{m_k}$ 表示 $m_k \times m_k$ 的厄米矩阵集合。这些完整块 $\Omega_k$ 与重复的标量块 $\delta_kI$ 相对应。