函数依赖的**传递性（Transitivity）**，属于逻辑蕴涵，无需额外条件
选项 B 正确：若 X→Y 且 Y→Z，且 Y↛X（即 Y 不函数决定 X），则称 Z 对 X 存在传递函数依赖；但严格来说，仅由 X→Y 和 Y→Z 就可推出 X→Z（这是函数依赖的传递律，是 Armstrong 公理系统的基本推理规则之一），无论 Y 是否决定 X。因此，“X→Y 且 Y→Z ⇒ X→Z”恒成立，这就是函数依赖的传递性（Transitivity），属于逻辑蕴涵，无需额外条件。故 B 描述正确（尽管“传递依赖”术语常特指非平凡、非主属性对非超键的传递依赖，但题干括号中写的是“传递依赖”，略欠严谨；然而在选择题语境下，B 是唯一符合函数依赖基本公理的正确陈述）。
逐项分析：
A. 错误。平凡函数依赖指 Y ⊆ X，则 X→Y 恒成立。它既不是完全依赖也不是部分依赖（因无“真子集”可言），更不等价于“非完全依赖”。完全/部分依赖仅针对非平凡依赖且 X 为超键时讨论；平凡依赖不参与范式判断中的依赖分类，不能简单说它是“非完全依赖”。
C. 错误。部分函数依赖定义为：X→Y，X 为候选键（或超键），存在真子集 X′⊂X，使得 X′→Y。它可能出现在 1NF 中，但并非“一定存在”。例如一个关系模式 R(A,B) 中，AB 是候选键，且 A→B，则存在部分依赖；但如果所有非主属性都完全函数依赖于候选键（如 R(A,B,C)，候选键为 AB，且仅 AB→C，无 A→C 或 B→C），则 1NF 关系中可以没有部分依赖——只是此时它已满足 2NF。因此“一定存在”过于绝对，错误。
D. 错误。候选键是极小超键，即其任何真子集都不能函数决定全部属性。因此候选键不能包含冗余属性；含冗余属性的是超键，而非候选键。
综上，唯一正确的是 B。
函数依赖的 Armstrong 公理系统是关系数据库规范化理论的基础，由三条自明的、 sound 且 complete的推理规则构成，用于从给定函数依赖集 F 推导出其闭包 F⁺（即所有逻辑蕴涵的函数依赖）。
✅三条基本公理：
自反律（Reflexivity）
若 Y ⊆ X，则 X → Y。
→ 即“超集决定其子集”恒成立（平凡函数依赖）。
例：AB → A，AB → B，AB → AB 均成立。增广律（Augmentation）
若 X → Y，则 XZ → YZ（其中 Z 是任意属性集）。
→ 两边同时添加相同属性，依赖仍成立。
例：若 A → B，则 AC → BC。传递律（Transitivity）
若 X → Y 且 Y → Z，则 X → Z。
→ 类似于数学中的传递性，是推导非平凡依赖的核心。
例：若 A → B 且 B → C，则 A → C。
这三条公理共同构成完备的推理系统——任何逻辑上由 F 蕴涵的函数依赖，都可通过有限次应用这三条规则从 F 导出。
✅由Armstrong公理推导的重要推理规则：
🔹合并律（Union Rule）：若 X → Y 且 X → Z，则 X → YZ。
推导过程：
① X → Y （已知）
② X → Z （已知）
③ 由增广律，X → Y ⇒ XY → YY ⇒ XY → Y（冗余，但关键在下一步）
更标准推导：
- 由 X → Y，应用增广律（加 Z）得：XZ → YZ；
- 由 X → Z，得 X → Z；再用增广律（加 Y）得：XY → ZY；
但更简洁严谨的推导如下：
① X → Y ⇒ X → Y（自明）
② X → Z ⇒ X → Z
③ 由增广律，X → Y ⇒ X → Y（不变），再对 X → Z 应用增广律得：X → Z ⇒ X → Z；
→ 实际常用辅助步骤：
a) X → Y ⇒ X → Y（1）
b) X → Z ⇒ X → Z（2）
c) 由 (1) 和增广律（加 Z）：XZ → YZ
d) 由 (2) 得 X → Z，故 XZ ≡ X（因 Z 已被 X 决定），所以 X → YZ。
✅ 更规范的证明（教科书标准）：
- 由 X → Y，根据增广律得：X → XY（因 X → X 自反，X → Y ⇒ X → XY）；
- 由 X → Z，得 X → XZ；
- 但更直接方式是：
X → Y ⇒ X → Y（自反+增广不直接得并集）→ 正确路径是：
1. X → Y（已知）
2. X → Z（已知）
3. 由增广律，X → Y ⇒ XX → YX ⇒ X → XY（因 XX = X）
4. 同理，X → XZ
5. 然后利用传递性需中间项，故实际教学中常将合并律视为增广+传递的组合：
• 由 X → Y，得 X → Y（1）
• 由 X → Z，得 X → Z（2）
• 则 X → YZ 可通过如下两步：
- 先证 X → Y 和 X → Z ⇒ X → Y ∪ Z，这本身是合并律定义；
- 标准推导依赖增广律 + 传递律 + 自反律：
i) X → Y ⇒ X → Y（自反）
ii) X → Z ⇒ X → Z
iii) 由增广律，X → Y ⇒ XZ → YZ
iv) 但 X → Z ⇒ XZ ≡ X（逻辑等价），故 X → YZ。
✅ 结论：合并律可由 Armstrong 公理导出，是有效推理规则。
🔹伪传递律（Pseudotransitivity）：若 X → Y 且 WY → Z，则 WX → Z。
推导过程：
① X → Y （已知）
② WY → Z （已知）
③ 由增广律，对①两边加 W：WX → WY
④ 由③ WX → WY 和② WY → Z，根据传递律得：WX → Z
✅ 完整、严格，仅使用增广律 + 传递律。
补充说明：
- 还有其他常用规则如分解律（Decomposition）：X → YZ ⇒ X → Y 且 X → Z（由自反律 Y ⊆ YZ，及增广律逆用，或定义直接可得）；
- 所有这些规则均不增加新信息，仅帮助高效计算属性闭包或求最小覆盖。
# 示例：计算属性集闭包 X⁺（用于候选键/范式判定）defclosure(X,F):"""F: list of tuples (lhs, rhs), e.g., [('A', 'B'), ('B', 'C')]"""result=set(X)changed=Truewhilechanged:changed=Falseforlhs,rhsinF:ifset(lhs).issubset(result)andnotset(rhs).issubset(result):result|=set(rhs)changed=Truereturnresult