72、代数几何编码：从基础概念到经典编码实例

代数几何编码：从基础概念到经典编码实例

代数几何编码概述

自 1977 年 V. D. Goppa 发现利用代数几何的编码以来，对这类编码的研究大量涌现。1982 年，Tsfasman、Vl˘adut¸ 和 Zink 证明了某些代数几何编码超越了渐近 Gilbert - Varshamov 界，这一成果让人们意识到代数几何编码的重要性。代数几何编码，如今常被称为几何 Goppa 码，最初是基于代数几何的众多广泛而深刻的结果发展起来的。这些编码可以通过代数曲线来定义，也可以利用代数函数域来定义，因为“良好”的代数曲线和这些函数域之间存在一一对应关系。

仿射空间、射影空间与齐次化

• 仿射空间：设 F 是一个可能为无限的域，n 维仿射空间 (A^n(F)) 被定义为普通的 n 维向量空间 (F^n)，其中的点表示为 ((x_1, x_2, \ldots, x_n))，且 (x_i \in F)。
• 射影空间：定义 n 维射影空间 (P^n(F)) 相对复杂。首先，设 (V_n) 是 (F^{n + 1}) 中的非零向量。若 (x = (x_1, x_2, \ldots, x_{n + 1})) 和 (x’ = (x_1’, x_2’, \ldots, x_{n + 1}’)) 在 (V_n) 中，当存在非零的 (\lambda \in F) 使得 (x_i’ = \lambda x_i)（(1 \leq i \leq n + 1)）时，称 (x) 和 (x’) 等价，记为 (x \sim x’)。这种等价关系的等价类记为 ((x_1 : x_2 : \cdots : x