77、卷积码相关知识详解

卷积码相关知识详解

1. 卷积码概述

卷积码在 1967 年维特比算法被发现后得到了更广泛的应用。对于一个 $(n, k)$ 卷积码，维特比算法的复杂度在很大程度上取决于记忆长度 $M$ 和 $k$。因此，该算法通常仅适用于 $M$ 和 $k$ 相对较小的情况。此外，卷积码还有其他解码算法，如顺序解码，但每种算法都有其自身的缺点。

2. 规范生成矩阵

卷积码可以有许多不同的生成矩阵，包括那些元素是 $D$ 的有理函数而非多项式的矩阵。这里主要关注多项式生成矩阵，其中首选的是规范生成矩阵。

2.1 相关术语

• 设 $G = [g_{i, j}(D)]$ 是一个 $k × n$ 的多项式矩阵。第 $i$ 行的度定义为该行元素的最大度。
• $G$ 的外部度，记为 $\text{extdeg} G$，定义为 $G$ 的 $k$ 行的度之和。

示例 14.3.1：对于示例 14.1.1 中的 $(2, 1)$ 卷积码 $C_1$，其生成矩阵 $G_1$ 和 $G_1’$ 的外部度分别为 2 和 3。同一示例中码 $C_2$ 的生成矩阵 $G_2$ 的外部度为 $2 + 1 = 3$。

2.2 规范生成矩阵的定义

卷积码 $C$ 的规范生成矩阵是所有多项式生成矩阵中外部度最小的多项式生成矩阵。根据定义，每个卷积码都有一个规范生成矩阵，这个最小的外部度被称为码 $C$ 的度。

示例 14.3.2：可以证明示例 14.1.1 中 $(2,