第 4 章 Park 变换与反 Park 变换：FOC 真正的 “灵魂”，把交流变直流

前言

上一章我们通过Clark 变换，把三相电流 Iu​,Iv​,Iw​ 变成了两相静止坐标系下的电流 Iα​,Iβ​。到这里，电机电流从 “三相耦合” 变成了 “两相正交”，计算简单了很多，但依然是交流量—— 大小随时间正弦变化，没法用简单的 PID 直接稳控。

FOC 之所以能把无刷电机变得像直流电机一样好控制，核心全靠 Park 变换。

本章我们一次性讲透：

• Park 变换到底在干什么
• d/q 轴分别代表什么物理意义
• 电角度 θ 从哪来、怎么算
• 完整公式推导 + 两种写法
• 浮点 / 定点代码直接可用
• 工程里 90% 的人都会踩的坑

读完这一章，你才算真正摸到 FOC 的核心逻辑。

1. Park 变换到底解决了什么问题？

先一句话总结：

Park 变换：把 αβ 静止坐标系，变换到 dq 旋转坐标系，让交流量变成直流量。

展开说：

• αβ 坐标系：固定在定子上，不动
• dq 坐标系：固定在转子上，跟着转子一起旋转

当你站在 “旋转的转子” 视角去看电流：

• 原来随时间正弦波动的 Iα​,Iβ​
• 会变成两个稳定不变的直流分量 Id​,Iq​

交流变直流意味着什么？

• 可以用普通 PI 调节器直接控制
• 可以做到完全解耦：磁场归磁场，力矩归力矩
• 控制简单、稳定、响应快、低速平滑

这就是 FOC 能吊打方波驱动的根本原因。

2. d 轴与 q 轴的物理意义

对表贴式永磁同步电机 PMSM（我们常用的 BLDC 绝大多数都是这种）：

• d 轴（direct axis）直轴与转子永磁体磁场方向一致对应：励磁分量

• q 轴（quadrature axis）交轴超前 d 轴 90° 电角度对应：转矩分量

控制目标极其清晰：

• Id​=0：弱磁控制以外，默认都让 d 轴电流为 0，不削弱磁场，效率最高
• Iq​：想力气大就加大 Iq​，想刹车就减小甚至反向

这就是经典的：

Id​=0 FOC 控制策略

3. 电角度 θ 是整个变换的 “钥匙”

Park 变换本质是矢量旋转，旋转多少度，由电角度 θ决定。

电角度怎么来？

θ 的作用：

它代表当前转子磁场指向的角度，决定了 dq 坐标系相对于 αβ 坐标系旋转了多少。

没有 θ，Park 变换无从谈起。θ 不准 → FOC 直接抖、啸叫、无力、发热。

4. Park 变换标准公式推导

4.1 变换关系

从 αβ 静止坐标系，逆时针旋转 θ，得到 dq 旋转坐标系：

5. 反 Park 变换（FOC 输出必备）

电流环计算完 Vd​,Vq​ 之后，要变回 αβ 给 SVPWM 用，这就是反 Park。

公式：

6. 完整代码实现（浮点版）

6.1 Park 变换

#include "math.h" /** * @brief Park 变换: αβ → dq * @param Iα, Iβ: 两相静止电流 * @param theta: 电角度(弧度) * @param Id, Iq: 输出直流量 */ void Park_Transform(float Ialpha, float Ibeta, float theta, float *Id, float *Iq) { float sin_theta = sinf(theta); float cos_theta = cosf(theta); *Id = Ialpha * cos_theta + Ibeta * sin_theta; *Iq = -Ialpha * sin_theta + Ibeta * cos_theta; }

6.2 反 Park 变换

/** * @brief 反Park变换: dq → αβ * @param Vd, Vq: 电压指令 * @param theta: 电角度(弧度) * @param Valpha, Vbeta: 输出静止坐标系电压 */ void Inv_Park(float Vd, float Vq, float theta, float *Valpha, float *Vbeta) { float sin_theta = sinf(theta); float cos_theta = cosf(theta); *Valpha = Vd * cos_theta - Vq * sin_theta; *Vbeta = Vd * sin_theta + Vq * cos_theta; }

7. 定点优化版（无 FPU 单片机适用）

对 STM32F103 等资源紧张的 MCU，可以用正弦余弦表 + Q15 定点：

// 正弦余弦表(θ:0~360°,精度1°), Q15格式 const int16_t sin_table[] = { // 自行填入 0~359° 的 sin*32767 }; #define GET_SIN(deg) sin_table[deg%360] #define GET_COS(deg) sin_table[(deg+90)%360] void Park_Fixed(int16_t Ialpha, int16_t Ibeta, uint16_t theta_deg, int16_t *Id, int16_t *Iq) { int32_t sin_theta = GET_SIN(theta_deg); int32_t cos_theta = GET_COS(theta_deg); *Id = ((int32_t)Ialpha * cos_theta + (int32_t)Ibeta * sin_theta) >> 15; *Iq = ((int32_t)-Ialpha * sin_theta + (int32_t)Ibeta * cos_theta) >> 15; }

工程建议：

• 有 FPU（F4/F7/H7/G4）直接用浮点，简单好调
• 无 FPU 用查表法，速度极快

8. 为什么变换后 Id、Iq 是直流（最关键的理解）

举个直观例子：

• 你站在地面（αβ）看风车叶片，位置一直在变，是交流
• 你坐在风车转子上（dq）一起转，叶片相对你不动，是直流

对应到电机：

• 、 随电角度正弦波动
• 用 θ 同步旋转后，波动被 “抵消” 了
• 输出的 、 变成恒定直流

于是：

• 用 PI 控制器去稳 Id、Iq
• 就像控制简单直流电机一样轻松

这就是 FOC 的数学魔法。

9. 工程高频踩坑

9.1 θ 角度方向反了

现象：

• 电机一转就啸叫、抖动、电流巨大
• 改方向也没用

原因：

• 电角度 θ 递增方向与转子实际旋转方向相反

解决：

theta = -theta;

或反序 Hall 计算角度。

9.2 sin/cos 角度单位不统一

• 代码里用弧度，计算时用角度
• 结果完全错乱

统一规则：

• C 语言 math.h：sinf/cosf 一律用弧度
• 霍尔 / 编码器：先转弧度再传入

9.3 dq 轴定义反了

有些资料 / 电机库定义：Iq​=Iα​sinθ+Iβ​cosθ符号不一样，会导致：

• 力矩方向相反
• 电机飞车、失控

解决：整套 FOC 坐标系从头到尾保持一致，不要混用多家库公式。

9.4 角度延迟未补偿

编码器读取、ADC 采样、运算都需要时间θ 已经变了，你还用旧角度→ 电流环相位滞后 → 低速抖、高速弱

高端 FOC 都会做：角度前馈补偿 / 观测器相位补偿

9.5 Id 没有置 0

表贴式电机默认 Id=0如果你给 Id 一个随机初始值会出现：

• 力矩小
• 电流大
• 发热严重
• 效率极低

10. 完整 FOC 电流环结构

完整的电流环流程：

1. ADC 采样三相电流 Iu​,Iv​,Iw​
2. Clark 变换→ Iα​,Iβ​
3. Park 变换→ Id​,Iq​
4. PI 闭环：
   • Idref​=0
   • Iqref​ 为力矩指令
5. 输出 Vd​,Vq​
6. 反 Park 变换→ Vα​,Vβ​
7. 送入SVPWM生成三相 PWM

这就是标准Id=0 FOC 控制架构。

11. 本章总结

Park 变换是 FOC 真正的灵魂，核心就 4 点：

1. 功能：αβ 静止 → dq 旋转，交流变直流
2. 核心变量：电角度 θ，决定旋转角度
3. 物理意义：
   • Id：励磁，默认 0
   • Iq：转矩，控制力气
4. 公式：必须记住一对正变换 + 反变换，代码直接套用

到这里，FOC 最难的数学部分已经全部结束。