2.1 矩阵的概念与运算
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方阵： 称 \(n\times n\) 的矩阵为方阵，或 n 阶矩阵
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同型矩阵： 若矩阵 A 和 B 行数相同、列数相同，则称这两个矩阵为同型矩阵
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行列式记法： 矩阵 A 的行列式记为 \(|A|\) 或 \(detA\)
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矩阵的加法： 同型矩阵才能相加
- 交换率：\(A+B=B+A\)
- 结合率：\((A+B)-C=A+(B-C)\)
- 零矩阵相关：\(A+O=A\)；\(A+(-A)=O\)
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矩阵的数乘：\(kA=[ka_{ij}]_{m\times n}\)
- \(k(mA)=(km)A=m(kA)\)
- \((k+m)A=kA+mA\)
- \(k(A+B)=kA+kB\)
- \(1A=A\)；\(0A=O\)
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矩阵的乘法：“列的线性组合”、“行的线性组合”、“行 * 列”、“列 * 行”
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矩阵的乘法没有交换率
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矩阵的乘法没有消去率
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\(AB=O\) 不能说明 \(A=O\) 或 \(B=O\)
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结合率：\((AB)C=A(BC)\)
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分配律：\(A(B+C)=AB+AC\)；\((B+C)A=BA+CA\)
- 注意矩阵的先后顺序
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\(AB=O\) 的含义推广
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B 的各列向量是 \(Ax=0\) 的解（数二 2020 运用）
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从 “秩”、“方程组的解”的角度入手做题
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“秩”角度：设 \(A_{m\times n}\) 和 \(B_{n\times p}\)，\(r(A)+r(B)\leq n\)
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方程组解的角度：若 B 非零，则 Ax=0 有非零解，且 B 各列向量属于解空间（零空间）
（若有非零解，也意味着 |A|=0）
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转置相关的运算：
- \((A+B)^T=A^T+B^T\)
- \((kA)^T=kA^T\)
- \((AB)^T=B^TA^T\)
- \((A^T)^T=A\)
- \((A^T)^n=(A^n)^T\)
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对角矩阵的运算：
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乘法运算：
\(\left[\begin{matrix}a_1&0&0\\0&a_2&0\\0&0&a_3\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}b_1&0&0\\0&b_2&0\\0&0&b_3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}a_1b_1&0&0\\0&a_2b_2&0\\0&0&a_3b_3\end{matrix}\right]\)
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支持交换率：\(\Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1\)
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幂运算：
\(\left[\begin{matrix}a_1&0&0\\0&a_2&0\\0&0&a_3\end{matrix}\right]^n=\left[\begin{matrix}a_1^n&0&0\\0&a_2^n&0\\0&0&a_3^n\end{matrix}\right]\)
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对角矩阵的逆：
\(\left[\begin{matrix}a_1&0&0\\0&a_2&0\\0&0&a_3\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}a_1^{-1}&0&0\\0&a_2^{-1}&0\\0&0&a_3^{-1}\end{matrix}\right]\)
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列向量 \(\alpha,\beta\) 的乘法运算注意点：
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\(\alpha\alpha^T\) 是对称矩阵
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PS：矩阵及其转置相乘可得对称矩阵，即 \((A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA\)
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\(\alpha^T\alpha\) 是各元素平方和
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\(\alpha^T\beta=\beta^T\alpha\) 是数值
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\(A = \alpha\beta^T\)，r(A) = 1，\(A^n=k^{n-1}A\)，其中 \(k=\alpha^T\beta=\sum a_{ii}=\sum\lambda_i\)
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分块矩阵
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矩阵按不同方法分块构成不同的分块矩阵，
- 当问题和“线性相关”、“秩”等相关，考虑按行或列分块（运用行、列线性组合的视角）
- 当问题是解方程组，考虑按列分块（运用列的线性组合的视角）
- 当问题是求AB、\(A^n\)、\(A^{-1}\) 等，考虑分为四块
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分块矩阵的运算
- 前提：应保证连个矩阵分块后，各分块是能够进行运算的（保证合理分块）
- 计算时将不同的分块视为“矩阵的元素”即可，但应注意分块乘法时的顺序不能颠倒
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分块矩阵特殊运算情况：
- \(\left[\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix} \right]^T=\left[\begin{matrix}A^T&C^T\\B^T&D^T\end{matrix} \right]\)
- 若 B、C分别是 m 阶、s 阶方阵 \(\left[\begin{matrix}B&O\\O&C\end{matrix} \right]^n=\left[\begin{matrix}B^n&O\\O&C^n\end{matrix} \right]\)
- 若 B、C分别是 m 阶、s 阶可逆矩阵
- \(\left[\begin{matrix}B&O\\O&C\end{matrix} \right]^{-1}=\left[\begin{matrix}B^{-1}&O\\O&C^{-1}\end{matrix} \right]\)
- \(\left[\begin{matrix}O&B\\C&O\end{matrix} \right]^{-1}=\left[\begin{matrix}O&C^{-1}\\B^{-1}&O\end{matrix} \right]\)
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2.2 伴随矩阵
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伴随矩阵： A 的伴随矩阵记为 \(A^*\)，由 \(A\) 的行列式 \(|A|\) 的所有代数余子式构成，形如:
\(\begin{vmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1} \\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{vmatrix}\)，其中注意 \(A^*\) 的第一列是 \(|A|\) 第一行元素的代数余子式
（只有方阵才有伴随矩阵）
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公式1：\(AA^*=A^*A=|A|E\) （PS：可见 A 和 \(A^*\)是满足交换律的）
证：\(\begin{align*} &\text{设: } A=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right],\;A^*=\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{matrix}\right] \\&\therefore AA^*=\left[\begin{matrix}a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}&a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}\\a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12}&a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}\end{matrix}\right] \\&\therefore AA^*=\left[\begin{matrix}|A|&0\\0&|A|\end{matrix}\right] \\&\therefore AA^*=|A|E \end{align*}\)
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公式2：\((A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\dfrac{1}{|A|}A \qquad(|A|\neq0)\)
- 公式2-1：\(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^* \qquad(|A|\neq0)\) （常用于三阶及以下矩阵求逆）
证：\(\begin{align*} &\because AA^*=|A|E \\ &\therefore \dfrac{1}{|A|}AA^*=E \\ &\therefore (\dfrac{1}{|A|}A)A^*=E \\ &\therefore (A^*)^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A \end{align*}\)
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公式3：\((kA)^*=k^{n-1}A^*\)
（因为 kA 是 n 阶，那么 \((kA)^*\) 中所有的代数余子式都是对应的余子式都是 n-1 阶的行列式，因为 kA 每个元素都有系数 k，那么每个 n-1 余子式按行提取所有系数就提出了 \(k^{n-1}\)）
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公式4：\((A^*)^T=(A^T)^*\)
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公式5：\(|A^*|=|A|^{n-1}\)
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公式6：\((A^*)^*=|A|^{n-2}A \qquad(n\geq 2)\)
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公式7：\((AB)^*=B^*A^*\)
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二阶矩阵的伴随矩阵：\(\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix} \right]^*=\left[\begin{matrix}d&-c\\-b&a\end{matrix} \right]\)
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补充：\(A^*=|A|A^{-1}\) 即用逆矩阵计算伴随矩阵，通常逆矩阵好算（如对角矩阵、矩阵分块为对角矩阵）
（用公式 1 等式两端同时左乘 \(A^{-1}\) 易证）
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补充：伴随矩阵的秩（反过来可推 A 的秩）
2.3 矩阵的逆
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若 \(A\) 可逆，则 \(A\) 的逆矩阵唯一（证明见红书 P238）
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\(A\) 可逆 \(\Longleftrightarrow\) \(|A|\neq0\) \(\Longleftrightarrow\) \(A\) 各列（行）向量线性无关
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\(n\) 阶矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件：
(1) 存在矩阵 \(B\)，使得 \(AB=BA=E\) （左、右逆相同）
(2) \(|A|\neq0\)，或秩 \(r(A)=n\)，或 \(A\) 的列（行）向量线性无关
(3) 齐次线性方程组 \(Ax=0\) 只有零解（唯一解）（联系克拉默法则）
(4) 非齐次线性方程组 \(Ax=b\) 总有唯一解（联系克拉默法则）
(5) 矩阵 \(A\) 的特征值全不为零（\(\because |A|=\prod\lambda_i\neq0\)）
(6) 矩阵 A 可以表示成一些初等矩阵的乘积
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逆矩阵的运算性质
- 若 \(k\neq0,A\) 可逆，则 \((kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}\)
- 若 \(A,B\) 可逆，则 \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)
- 若 \(A\) 可逆，则 ① \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)；② \((A^{-1})^{-1}=A\)；③ \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\)；④ \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*\) ；⑤ \(A^{-n}=(A^{-1})^n=(A^n)^{-1 }\)
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求逆矩阵的方法
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法一： 用伴随矩阵公式，若 \(|A|\neq0\)，则 \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*\)
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法二： 高斯-若尔当消元法（初等变换法），\((A,E)\overset{\text{消元}}\longrightarrow{(E,A^{-1})}\)
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法三： 用定义，使得 \(AB=E\) 或 \(BA=E\)，则 A 可逆，且 \(A^{-1}=B\)
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法四： 对于分块矩阵，设 \(B,C\) 均可逆，则（注意 B、C 变化）
\(\left[\begin{matrix}B&O\\O&C\end{matrix} \right]^{-1}=\left[\begin{matrix}B^{-1}&O\\O&C^{-1}\end{matrix} \right]\)
\(\left[\begin{matrix}O&B\\C&O\end{matrix} \right]^{-1}=\left[\begin{matrix}O&C^{-1}\\B^{-1}&O\end{matrix} \right]\)
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回顾： 对角矩阵的逆
\(\left[\begin{matrix}a_1&0&0\\0&a_2&0\\0&0&a_3\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}a_1^{-1}&0&0\\0&a_2^{-1}&0\\0&0&a_3^{-1}\end{matrix}\right]\)
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2.4 初等变换、初等矩阵
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初等变换： 设 \(A\) 是 \(m\times n\) 的矩阵，如下三种行（列）变换统称为初等变换
- 倍乘： 用某个非零常数 \(k\) 乘 \(A\) 的某行（列）
- 倍加： 将 \(A\) 的某行（列）的 \(k\) 倍加到另一行（列）
- 互换： 互换 \(A\) 的某两行（列）位置
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初等矩阵： 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
- 初等矩阵可结合矩阵乘法中的“行的线性组合”、“列的线性组合”理解（见 MIT 课笔记）
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初等矩阵与初等变换的性质
(1) 初等变换不会改变矩阵的秩
(2) 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
(3) 初等矩阵均可逆，且其逆矩阵仍是初等矩阵（初等矩阵的逆矩阵作用是抵消初等矩阵的初等变换，因此初等矩阵及其逆属于同一类初等变换）
(4) 初等矩阵 P 左乘 A：\(PA\)，相当于对 A 作初等行变换；初等矩阵 P 右乘 A：\(AP\)，相当于对 A 作初等列变换
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等价矩阵： 若矩阵 \(A\) 能经过有限次初等变换变成矩阵 \(B\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 等价，记为 \(A\cong B\)
- 等价标准型： A 的等价标准型是与 A 等价的所有矩阵中的最简矩阵，形如 \(\left[\begin{matrix}E_r&O\\O&O\end{matrix} \right]\)，其中 \(E_r\) 表示 \(r\) 阶单位矩阵，\(r\) 为矩阵 \(A\) 的秩
- A 和 B 等价 \(\Longleftrightarrow\) 秩 \(r(A)\) = 秩 \(r(B)\)（初等变换不会改变矩阵的秩）
- A 和 B 等价 \(\Longleftrightarrow\) 存在可逆矩阵 P 和 Q 使 \(PAQ=B\)
- （关于两个矩阵关系的考点：等价、相似、和同）
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行阶梯矩阵、行最简矩阵
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行阶梯矩阵要求：
(1) “零”元素的行都在矩阵的最底部
(2) 矩阵非零行的主元的列标随着行标的递增而递增
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行最简矩阵要求：（简化行阶梯矩阵）
(1) 是行阶梯矩阵
(2) 非零行的主元都是 1（单位化），且主元所在列的其他元素均为 0
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求能表示所有行变换的矩阵 \(P\) 的方法（ \(P_t\cdots P_2P_1A=PA=B\)）
构造增广矩阵 \((A,E)\)，对其作一系列初等行变换，使 \((A,E) \longrightarrow (B,P)\)，即得 P
（而变换后所得的 A 和 B 是等价矩阵）