C语言系列之——（4）原码、反码、补码

1.二进制和进制转换

1.1 什么是进制

我们常常听到二进制、八进制、十进制、十六进制这样的说法，这些是什么意思呢
其实，它们只是数值的不同表现形式

每种进制下，从右往左分别是个位，十位，百位……只是不同进制下每一位的权重是不一样的

不同进制下从右往左每一位的权重如下
二进制：2 0 2^020，2 1 2^121，2 2 2^222……
八进制：8 0 8^080，8 1 8^181，8 2 8^282……
十进制：10 0 10^0100，10 1 10^1101，10 2 10^2102……
十六进制：16 0 16^0160，16 1 16^1161，16 2 16^2162……

每一位上的数字在等于其进制数时会往下一位进一位，自己这一位变为0
（如10进制下每一位上的数最大只能是9，当某一位上数变为10时，会向其左边的第一位进1，自己变成0，所以9+1=10，79+1=80，78+30=108）
（十六进制下为表示每一位上大于9的数，用字母A代表10，B表示11，以次类推，一直到F表示15）

对应进制下表示的数字等于其每一位上的数字和对应权重之积的和

**以十五这个数在不同进制下的表示为例：
二进制：1111（15 = 1x2 0 2^020+ 1x2 1 2^121+1x2 2 2^222+1x2 3 2^323= 1 + 2 + 4 + 8 ）
八进制：17
十进制：15
十六进制：F

1.2 进制间的转换

a.十进制转二进制

十进制转二进制最简方法为：短除法，其规则可以总结为8个字：除 2 取余，逆序排列

以8转二进制为例：
8 ÷ 2 = 4（余0）
4 ÷ 2 = 2（余0）
2 ÷ 2 = 1（余0）
1 ÷ 2 = 0（余1）
最后余数序列0001逆序排列为：1000

b.二进制转八进制

因为八进制下每一位的数字范围为0~7，刚好可以被三位二进制数覆盖（000 ~ 111），所以二进制转八进制的规则是：从二进制序列的右边低位开始，向左每3个二进制位按从右往左2 0 2^020，2 1 2^121，2 2 2^222的权重换算成一个八进制位，不足3位的直接换算

以1011转八进制为例：
1011从右往左三个三个可分为两段：011，1
从右往左依次换算成八进制位下数，011 -> 3，1 -> 1
得到的八进制数：13

c.二进制转十六进制

和转八进制类似，从二进制序列的右边低位开始，向左每4个二进制位按从右往左2 0 2^020，2 1 2^121，2 2 2^222，2 3 2^323的权重换算成一个十六进制位，不足4位的直接换算

（其他进制下每位数权重再各位求和即得十进制数）

2.原码、反码、补码

2.1 前置知识准备

a.这三个码是什么

整型数据 / 整数的二进制表示方法有三种：原码，反码，补码

（char类型变量中存的实际是字符对应地ASCLL码值，所以也是整型类型）

b. 不同整数三码的区别

b.1 负数与非负数之间

总结下来就是：
非负整数的原、反、补码三码相同，只要得到其中一个码就得到了所有三码；负整数的三码各不相同，需要分别计算转换

b.2 signed和unsigned之间

b.2.1 计算机存储单位说明

在计算机中，最小的存储单位是比特（bit），1个二进制位=1bit
接下来比比特大的单位为字节（Byte），1字节=8bit
再之后的存储单位关系如下：

1KB = 1024Byte
1MB = 1024KB
1GB = 1024MB
1TB = 1024GB

（这里对存储单位进行说明主要是想补充：一个二进制位=1bit 这个前置知识）

b.2.2 signed和unsigned之间三码的区别

signed
1.有符号整数二进制的这三种表示方法下，二进制序列都有符号位和数值位之分
2.最高位的1位（即所有比特位中最左边那位)叫做符号位，其余位叫做数值位
3.有符号整数的正负数之分体现在符号位上，而数字的绝对值大小体现在数值位上
4.符号位上为0表示“正”（当然0是不是正数也不是负数），为1表示“负”

（下面以int为例，因为int的大小为4字节，所以其二进制表示下可以分配到32个比特位）

unsigned
二进制序列没有符号位与数值位之分，全是数值位

正是因为符号位和数值位的差别：
同类型的unsigned整数能够表示的最大值为signed整数可表示的最大值的两倍+1
unsigned只可表示非负数，signed可表示负数，0，正数

2.2 整数与三码间的转换

（因为非负整数三码相同，所以下面的原码->反码->补码只针对负整数而言）

a.整数->原码

直接将整数按照正负数的形式翻译成二进制得到的就是原码

inta=-10;-15的原码为：（为方便观看，下面把32个比特位以一个字节为单位每8个间隔开）10000000000000000000000000001010

b.原码->反码

原码符号位不变（如果有的话），其他位依次按位取反就可以得到反码

(按位取反规则：二进制每一位，0变1，1变0)

inta=-10;-10的原码为：（为方便观看，下面把32个比特位以一个字节为单位每8个间隔开）10000000000000000000000000001010-10的反码为：11111111111111111111111111110101

c.反码->补码

反码+1就得到补码(每一位逢2进1变0，若进位后总位数多出正确位数，则舍去多出的位数)

inta=-10;-10的原码为：（为方便观看，下面把32个比特位以一个字节为单位每8个间隔开）10000000000000000000000000001010-10的反码为：11111111111111111111111111110101-10的补码为：11111111111111111111111111110110若反码为：11111111111111111111111111111111其转补码+1得100000000000000000000000000000000，比正确的32位多1位，则舍去多出来的那一位1，得补码：00000000000000000000000000000000

d.补码->反码->原码

将上诉的三种转换倒过来执行即可

2.3 整数在内存中的存储与补码运算

a. 先上结论

计算机只认识二进制0和1，而整数实际是以补码的形式存储在内存中的，所以，所有的整数运算，都是用补码进行计算的
原码和反码只是人们用来计算补码的工具，内存中并不存在

b. 为什么一定要用补码存储整数

这是因为不用补码有两个硬伤：

1.原码和反码表示下，0都有两种表示形式

-0和+0都是同一个数0但是：(原码)-0->10000000000000000000000000000000+0->00000000000000000000000000000000(反码)-0->11111111111111111111111111111111+0->00000000000000000000000000000000这两种表现方式下，同一个数0都占了两个不同的编码，使得可表示的数少了一个，空间直接浪费了一个 而且还会导致运算逻辑混乱 而补码则能完美解决这个问题：+0=-0->00000000000000000000000000000000

2.若不用补码存储整数，减法运算无法直接用加法实现，硬件成本高

计算机的 CPU 里，天生只有加法器，没有专门的减法器。如果用原码做减法，比如 5 - 3，就需要额外的电路来处理符号位、比较绝对值大小，再做减法，这会让硬件变得非常复杂，成本飙升。

而用补码存储整数进行减法运算，可以自动将减法运算变为加法运算，且结果正确

以5-3为例 补码下，5-3->5的补码+(-3的补码)5的补码：00000000000000000000000000000101-3的补码：111111111111111111111111111111015+(-3)：100000000000000000000000000000010->舍去多的一位->0000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000010恰好就是2的补码，5-3=2

c. 补码运算

上面已经说过，所有的整数运算，都是用补码进行计算的

那有哪些整数运算呢？

算数运算
常用的算术运算有 + , - , * , / , %
（因为除±外其他都涉及一些位运算规则，所以这里先不进行讲解，等到讲操作符时就会将其他的这些运算补齐）

(在上面讲用补码存储的第二个原因的例子中已体现±运算，所以不再赘述)

注意：一些不同类型的整型变量在进行算数运算时，会发生整型提升或算术转换，此时运算的过程就更复杂些，上面举的例子是同类型整型变量间的运算规则，至于整型提升与算术转换的场景，将在后续文章中解释~

（下面这些运算同样会在讲解操作符时补齐）
位运算：~,&,|,^,<<,>>
复合赋值运算:+=,-=,……
比较运算，±号