2026 海淀八下期末题解

2026 海淀八下期末题解

1 第 8 题（选择压轴）

简单题，略。

2 第 16 题（填空压轴）

2.1 题意

在数轴上，我们称一个动点到所有定点的距离平方和最小时所在的点，为所有定点的“最佳幂和点”．

当数轴上有 n 个定点，第 i 个点表示 \(p_i\)，它们的“最佳幂和点” $ Q $ 所表示的数为多少？（用含有 \(p_i\) 的式子表示）

2.2 题意转化

记点 Q 表示的数是 q。

我们要最小化一个动点到所有定点的距离平方和，在本题中就要求

\[\sum_{i=1}^n (p_i-q)^2 \]

的最小值。

2.3 代价拆分

\[\sum_{i=1}^n (p_i-q)^2=\sum_{i=1}^n (p_i^2-2p_iq+q^2)\\ =\sum_{i=1}^n p_i^2-2q\sum_{i=1}^n p_i+nq^2 \]

第一项我们动不了，记 \(S=\sum_{i=1}^np_i\)，问题转化为求当

\[nq^2-2qS \]

最小时 q 的值。

2.4 配方

对这个式子配方，得

\[(\sqrt{n}q-\frac{S}{\sqrt{n}})^2-\frac{S^2}{n} \]

所以当 \(\sqrt{n}q=\frac{S}{\sqrt{n}}\)，即当 \(q=\frac{S}{n}\) 时上面式子取到最小值 \(-\frac{S^2}{n}\)。

故答案为

\[\boxed{\frac{\sum_{i=1}^n p_i}{n}} \]

3 第 24 题（代数综合）

3.1 题意

24.在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，抛物线 \(y = ax^2 - 4ax + 3a (a > 0)\) 与 \(x\) 轴交于 \(A, B\) 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧），与 \(y\) 轴交于 \(C\)。若点 \(P(x_0, y_0)\) 为直线 \(BC\) 上的动点，过点 \(P\) 作 \(PQ \perp x\) 轴交抛物线于点 $ Q $。
(1) 若 \(a = 1\)。
① 求直线 \(BC\) 的表达式；
② 若 \(0 < x_0 < 3\)，直接写出线段 \(PQ\) 长度的最大值及此时的点 \(P\) 的坐标；
(2) 若 \(m < x_0 < m+1\)，且线段 \(PQ\) 的长随着 \(x_0\) 的增大而增大，求 \(m\) 的取值范围。

3.2 小问 1

①把 a 代入求得抛物线解析式，再求它与 x,y 轴交点坐标，然后用 B,C 坐标求解析式即可。②用含有 \(x_0\) 的式子表示出 \(PQ\) 的长度，然后配方求最值即可。

3.3 求出 \(PQ\)

\(\because y=ax^2-4ax+3a\ (a>0)\) 与\(x\)轴交于\(A,B\)，与\(y\)轴交于\(C\).

\(\therefore\)当\(y=0\)时，解得 \(x_1=1\ \ x_2=3\) \(\therefore A(1,0)\ ,\ B(3,0)\)

当\(x=0\)时 \(y=3a\) \(\therefore C(0,3a)\)

设 \(BC: y=kx+b\) \(\therefore \begin{cases}3k+b=0 \\ b=3a \end{cases}\) \(\therefore \begin{cases}k=-a \\ b=3a \end{cases}\) \(\therefore BC:y=-ax+3a\)

\(\because P(x_0,y_0)\)在\(BC\)上 \(\therefore P(x_0,-ax_0+3a)\)

\(\because\)过点\(P\)作\(PQ\perp x\)轴交\(y=ax^2-4ax+3a\)于点$ Q $ \(\therefore Q(x_0, ax_0^2-4ax_0+3a)\)

\(\therefore PQ = |(-ax_0+3a)-(ax_0^2-4ax_0+3a)| = |-ax_0^2+3ax_0| = a|-x_0^2+3x_0|\)

3.4 何时单调递增

① 当 \(x_0<0\) 时，\(PQ\) 长度单调递减，舍去。

② 当 \(x_0>3\) 时，\(PQ\) 长度单调递增，\(\because m<x_0<m+1\)，此时 \(m\ge3\) 满足题意。

③ 当 \(0\leq x_0\leq 3\) 时，\(PQ\) 先递增，再递减。

此时\(P\)在$ Q \(上方，\)PQ = a(-x_0^2+3x_0)$.

\(\because\)二次函数 \(y=-x^2+3x\) 顶点为\(\frac{3}{2}\).

\(\because\)二次项系数 \(-a<0\)，函数开口向下，顶点左侧递增

\(\therefore\)当\(0\leq x_0\leq\frac{3}{2}\)时递增，\(\because m<x_0<m+1\)，\(\therefore0\leq m\leq\frac{1}{2}\).

综上，\(\boxed{0\leq m\leq\frac{1}{2} 或 m\ge 3}\)。

3.5 图解

通过这个草图可以直观感受到一些点的关系。

4 第 25 题（几何综合）

4.1 题意

24.在等腰 Rt\(△ABC\) 中，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(BC = AC\)，点 \(D\) 在边 \(BC\) 上，点 \(E\) 在边 \(CA\) 的延长线上，且满足 \(BD = AE\)，连接 \(DE\) 交 $ AB $ 于点 \(G\)。

(1) 如图 4.1-1，连接 \(CG\)，求证：\(CG = DG\)；

(2) 如图 4.1-2，在 \(CA\) 上截取 \(CF = BD\)，连接 \(BF\)，设 \(\angle CBF = \alpha\)（\(0^\circ < \alpha < 22.5^\circ\)），作点 \(C\) 关于 \(BF\) 的对称点 \(H\)，连接 \(BH\)、\(FH\)，\(BH\) 与 \(DE\) 交于点 \(I\)，请你补全图形，并求 \(\angle HIE\)（用含 \(\alpha\) 的代数式表示）。

(3) 如图 4.1-3，在 (2) 的条件下，延长 \(FH\) 交 \(DE\) 于点 \(K\)，若 \(HI = HF + BI\)，\(BF = \sqrt{3}\)，直接写出 \(IK\) 的长度。

4.2 证中点

4.2.1 补

如图 4.2-1，过点\(E\)作\(BC\parallel EF\)，交\(BA\)延长线于点\(F\)。

\(\because \angle ACB=90^\circ\)，\(\therefore \angle AEF=90^\circ\) \(\because BC=AC\) \(\therefore \angle BAC=\angle ABC=45^\circ\)，\(\therefore \angle AFE=\angle EAF=45^\circ\) \(\therefore AE=FE\) 。

\(\because BD=AE\) \(\therefore BD=EF\) \(\because \angle BGD=\angle FGE\) \(\therefore \triangle BGD\cong\triangle FGE\ (AAS)\)。

\(\therefore EG=DG\) \(\therefore CG=\frac{1}{2}ED=DG\)

4.2.2 截

如图 4.2-2，过点 D 作 DF⊥BC 于点 D，交 AB 于点 F。

\(\triangle BDF\) 是等腰直角三角形，所以 FD=AE，又因为 FD//EC，可证 \(\triangle FGD\cong\triangle AGE\ (AAS)\)，再利用斜边中线即可。

4.3 求角度

第二问答案为 \(\boxed{45°-α}\)。

4.3.1 平行四边形+一线三垂直+等腰直

以 B,D,E 三点构造一个平行四边形 BDEJ，就能把要求的角导到 \(\angle JBI\)，又因为 \(\angle IBF=α\)，所以仅求 \(\angle JBF\) 即可。

显然 \(\triangle JBF\) 很像等腰直，正好利用\(\triangle BCF\cong\triangle FEJ\ (SAS)\) 的一线三垂直证明即可。

证明：如图 4.3-1，过点\(E\)作 \(JE\parallel BC\)，过点$ B \(作\)BJ\parallel DE\(，两直线交于点\)J\(，连接\)JF$

\(\because BDEJ\)是平行四边形 \(\therefore BD=JE\) \(\because CF=BD\) \(\therefore CF=JE\)

\(\because BD=AE\) \(\therefore CF=AE\) \(\therefore AC=AF+CF=AF+AE=EF\)

\(\because BC=AC\) \(\therefore BC=EF\) \(\because \angle C=90^\circ\) \(\therefore \angle JEF=\angle C=90^\circ\)
\(\therefore \triangle BCF\cong\triangle FEJ\ (SAS)\) \(\therefore BF=FJ\)

\(\because \angle CBF+\angle BFC=90^\circ\) \(\therefore \angle BFC+\angle FEJ=90^\circ\) \(\therefore \angle JFB=90^\circ\) \(\therefore \angle JBF=45^\circ\)

\(\therefore C,H\)关于\(BF\)对称 ,\(\angle CBH=\alpha\) \(\therefore \angle HBF=\alpha\) \(\therefore \angle HIE=\angle JBH=\angle JBF-\angle HBF=45^\circ-\alpha\)

4.3.2 手拉手+十字架+等腰直

如图 4.3-2，发现 \(\triangle ABC\) 是个等腰直，所以我们可以补齐一个正方形 \(ACBJ\)。

连接 JD，JE，发现图中的三个灰色三角形全等，用 SAS 判定。

这是有两个共定点的三角形构成手拉手，所以 \(\angle DJE=\angle BJA=90°\) 且 \(JD=JE\)，黄色三角形为等腰直。

所以 \(\angle JDE=45°\)，通过简单导角可知 \(\angle JDB=90°-α\)，所以 \(\angle BDI=135°-α\)，用内角和+对顶角就做完了。

4.4 求线段长 - 寻找全等

4.4.1 预处理

第三问给了 \(BF=\sqrt{3}\)，这个位置不好，考虑将其转移。

F1：由 4.3.1，\(DE=BJ=\sqrt{2}BF=\sqrt{6}\)。

F2：由 4.3.2，\(DE=\sqrt{2}JD=\sqrt{2}BF=\sqrt{6}\)。

第二问用什么方法都能求出 \(DE=\sqrt{6}\)，这很关键。

4.4.2 寻找全等

显然应该转移要求的 IK。

发现一个关键性质，（2）中我们求出 \(\angle GIH=45°-α\) 之后，可以推出 \(\angle E=45°-α\)，我们可以考虑找到一个和 \(\triangle KIH\) 全等的三角形，它可以包含一个 \(\angle E\)。

有一个不好处理的条件 $ HI=HF+BI $，不妨设 \(HF=a,BI=b,HI=a+b\)，我们发现 \(EC=EA+AC=HF+BH=HF+BI+HI=2(a+b)\)，如果取 \(EC\) 的中点 L，那么它的一半 \(EL=A+B=IH\)，结合 \(\angle IHK=\angle ELG=90°\)，有 \(\triangle IHK≌\triangle ELG(ASA)\)。

这样把 IK 转移到 EG，也就是 DE 的一半，答案为 \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)。

4.4.3 另一种方式

4.4.2 中，我们是这样作的：取 EC 的中点 L，连接 GL。

这里有一种相似的方法，如图 4.4-2，取 BC 的中点 L，连接 GL。

这两种情况的证明是完全相同的。

4.5 新做法

这里提供一个额外的方法，连续解决（2）（3）问。

（2）如图 4.5-1，取一点 J 使 四边形 BDJF 是平行四边形，连接 EJ，证 \(\triangle BCF≌\triangle EFJ(SAS)\)，\(\angle HIE=\angle IDC-\angle IBD=\angle EDJ-α\)，只需证 \(\triangle EDJ\) 是等腰直即可。

（3）如图 4.5-2，在上一问基础上过点 G 作 BC 的平行线交 EC 于点 L，交过点 J 与 EC 平行的直线于点 M。考虑证红色的三角形全等，类似之前的方法导边导角即可，那么 \(IK=GJ\)，通过第（2）问求的角易证 \(\triangle GDJ\) 是等腰直，即 \(IK=\frac{BF}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)。

4.6 新做法 +

提供我第一次写本题时的方法，稍微麻烦。

思想就是想办法把 \(GI\) 转移到 \(EK\)。

\(\because HI=HF+BI\) \(\therefore BH=BI+HI=HF+2BI\) \(\because BC=HF=BD\) \(\therefore DC=BC-BD=2BI\) \(\because BC=AC\) \(CF=BD=AE\) \(\therefore AF=2BI\)

取\(AF\)中点\(L\)，\(\therefore AL=FL=BI\) \(\therefore AE=FC\) \(\therefore L\) 为 \(EC\) 中点，由(1)得\(G\)为\(ED\)中点 \(\therefore GL=\frac{1}{2}BC=BI\).

由(2)得\(\angle HIE=45^\circ-\alpha\) \(\therefore \angle BLD=45^\circ-\alpha\) \(\therefore \angle IBD=2\alpha\) \(\therefore \angle EDC=45^\circ+\alpha\) \(\therefore \angle DEC=45^\circ-\alpha=\angle HIE\)

延长\(BH\)交\(EC\)于点\(M\)，\(\therefore EM=IM\) \(\therefore EL=EA+AL=HF+BI=HI\) \(\therefore HM=LM\)

\(\because \angle HFB=\angle CFB=90^\circ-\alpha\) \(\therefore \angle HFM=2α\) \(\therefore \angle HML=90^\circ+2\alpha\) \(\therefore \angle MHL=\angle MLH=45^\circ-\alpha\)

\(\because \angle KHM=\angle GLC=90^\circ\) \(\therefore \angle KHL=\angle GLH=45^\circ+\alpha\) 设\(KH\)，\(GL\)交于点$ O $ \(OH=OL\) \(\therefore \angle KOG=90^\circ-2\alpha\)

\(\because \angle OGK=\angle EDC=45^\circ+\alpha\) \(\therefore \angle OKG=45^\circ+\alpha=\angle OGK\) \(\therefore OG=OK\) \(\therefore GL=KH\)

连接\(GL, HM\)交于点\(N\) \(\therefore \angle N=\angle IBD=2\alpha\) \(\therefore HM=ML\) \(\therefore \angle HMF=\angle LMN\) \(\therefore \triangle HMF\cong\triangle LMN\ (AAS)\) \(\therefore LN=HF\) \(\therefore GN=KF\)，\(\therefore \triangle IGN\cong\triangle EKF(AAS)\) \(\therefore IG=EK\) \(\therefore IK=IG+GK=EK+GK=EG=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}JB=\frac{1}{2}(\sqrt{2}{BF})\)。

因为 \(BF=\sqrt{3}\)，所以 \(IK=\frac{\sqrt{6}}{2}\)。

5 第 26 题（新定义）

5.1 题意

25.在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，对于给定的两个关于 \(x\) 的函数，任取自变量 \(x\) 的一个值，当 \(x < m\) 时，它们对应的函数值互为相反数；当 \(x \geq m\) 时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“\(m\)-相关函数”。

（1）① 在点 \(P_1(-1, -2)\)、\(P_2(-1, 2)\)、\(P_3(1, -2)\)、\(P_4(1, 2)\) 中，在正比例函数 \(y = 2x\) 的“1-相关函数”图象上的点是（）；

② 若一次函数 \(y = 2x + b\) 的“2-相关函数”的图象是轴对称图形，则 \(b\) 的值为（）；

（2）已知 \(A(2, 1)\)、\(B(2, -1)\)、\(C(-4, -1)\)、\(D(-4, 1)\)。

① 若二次函数 \(y = (x - h)^2\) 的“\(m\)-相关函数”图象与四边形 $ ABCD $ 始终有 2 个公共点，求 \(h\) 的取值范围；

② 若二次函数 \(y = x^2 + 2x + n\) 的“1-相关函数”的图象与线段 \(AD\) 有 2 个公共点，直接写出 \(n\) 的取值范围。

5.2 定义理解

【小问 1-1】依据定义，\(y=2x+b\) 的 1-相关函数长这样：

相当于把 1 的左侧关于 x 轴对称。

显然，① 中的 \(\boxed{P_2,P_4}\) 在这个函数上。

5.3 何时轴对称

【小问 1-2】上面这个函数显然不是轴对称的，观察图像，一个一次函数的“k-相关函数”如果是轴对称图形，那么对称轴一定为 \(x=k\)，此时左右两小端的端点必须重合。

关于 x 轴对称后还在原位，说明纵坐标为 0，也就是说原函数过 \((k,0)\)。

此时 k=2，利用待定系数法，\(2\times 2+b=0\)，所以 \(\boxed{b=-4}\)。

5.4 进阶应用

5.4.1 简化题意

【小问 2-1】我们发现矩形 ABCD 是关于 x 轴对称的，而“m-相关函数”是将函数的一部分关于 x 轴对称，对称的部分相对于矩形的位置关系不变，所以可以直接忽略。

问题转化为：若二次函数 \(y = (x - h)^2\) 与线段 AD 始终有 2 个公共点，求 h 的取值范围。

5.4.2 二次函数的顶点式

二次函数的一般式 \(y=ax^2+bx+c\) 经过配方后可以变成形如 \(y=a(x-h)^2+k\) 的形式，这样的式子就是顶点式，它可以快速表示出二次函数的顶点，显然当 \(x=h\) 时 \(y=k\)，所以这个函数过 \((h,k)\)。

5.4.3 运动方式

那么本题的函数过 \((h,0)\)，在 h 从小到大的变化中，函数从左向右平移，其中 a 为定值 1 保证了函数形态不变。

那么易得边界情况，这两个之间都满足有 2 个公共点。

5.4.4 临界值

最左侧时，函数过 \((-4,1)\)，代入解析式可得 \((-4-h)^2=1\) 解得 \(h=-3\) 或 \(-5\)，画图可知显然要取 \(h=-5\)。

最右侧时，函数过 \((2,1)\)，代入解析式可得 \((2-h)^2=1\) 解得 \(h=1\) 或 \(3\)，画图可知显然要取 \(h=3\)。

这两种情况之外有 0 个交点，这两种情况有 1 个，它们之间都是 2 个，所以答案为 \(\boxed{-5<h<3}\)。

5.5 终极应用

【小问 2-2】发现给出的函数 \(y = x^2 + 2x + n\) 只有上下方向的移动，因为取的是 “1-相关函数”，1 左侧取了相反数，所以在 n 从小到大的过程中，1 左侧从上到下移动，1 右侧从下到上移动。

图 5.5-1，5.5-2 展示了 n 从小到大的移动过程。

最开始函数与线段没有交点，到图中红色处有一个交点，到绿色有两个交点，这是第一个合法情况。

所以我们要想办法求出绿色处对应的 n 值，发现此时 \(y = x^2 + 2x + n\) 过线段右端 \((2,1)\)，代入得 \(4+4+n=1\)，解得 \(n=-7\)。

当 n 继续变大，函数运动到黑色位置，此时如果再移动就有三个交点，这是最后一个合法情况。

此时 -1 左边的部分，也就是函数 \(y=-(x^2+2x+n)\)，过点 \((1,1)\)，代入解得 \(n=-4\)，这之后（例如紫色函数）是取不到的。

注意，\(n=-4\) 可以取到，虽然看上去 \((1,1)\) 是交点，但是只有 \(x<1\) 的部分被翻转，所以函数是不过 \((1,1)\) 的。

第一部分答案：\(\boxed{-7\le n\le -4}\)。

继续移动，发现下图红色函数是最后一个有三个交点的情况，移动到绿色时就只有两个交点了。

红色函数为临界值，右侧部分 \(y=x^2+2x+n\) 过点 \((1,1)\)，解得 \(n=-2\)。

注意此时是不合法的，因为 \((1,1)\) 是函数上的点。

左侧函数继续向下，直到黑色状态，此时只有一个交点，之后（紫色）就都没有交点了，黑色之前是合法的。

黑色函数一定过 \((-1,1)\)，因为我们可以用二次函数顶点横坐标公式 \(x=-\frac{b}{2a}\) 求出，顶点一定在线段上，所以纵坐标为 1，接着代入解析式 \(y=-(x^2+2x+n)\) 解得 \(n=0\)，注意此时取不到。

所以第二个答案为 \(\boxed{-2<n<0}\)。

5.6 图解动画

这里用一个动图演示函数移动过程。