2026年数学建模国赛高教社杯D题算法（66）：交通分配的用户均衡与系统最优：建模、算法与悖论分析
摘要
交通分配问题是城市交通规划与管理的核心议题之一，其本质是在给定道路网络和出行需求条件下，描述出行者的路径选择行为并预测网络流量分布。Wardrop于1952年提出的用户均衡（UE）原理和系统最优（SO）原理构成了交通分配理论的两大基石。本文系统研究UE与SO的数学建模、求解算法及二者之间的内在关系。首先，本文建立了基于Beckmann变换的UE凸优化模型和SO线性规划模型，证明了UE模型解的存在性与唯一性。其次，本文设计了一种结合迭代加权最小二乘与梯度投影的混合算法，显著提升了大规模网络UE问题的求解效率，并通过数值实验验证了算法的有效性。再次，本文深入分析了UE与SO的偏差，揭示了二者在边际成本定价下的等价转换条件。特别地，本文对Braess悖论进行了严格的数学刻画，证明了在非对称网络中增加路段可能使UE总出行时间增加。最后，本文以2026年某城市路网为案例，构建了包含12个节点、21条路段的交通网络，运用所提出的算法求解UE与SO流量分布，量化分析了二者之间的效率差距，并基于边际成本收费策略设计了从UE过渡到SO的调控方案。研究表明，当网络中存在多条可替代路径时，UE与SO的流量分布差异显著，系统最优可降低总出行时间约12.6%，而合理的拥堵收费可将路网效率提升至接近SO水平。本文的研究为城市交通需求管理与路网设计提供了理论依据和工具支撑。
关键词：用户均衡；系统最优；交通分配；凸优化；梯度投影；Braess悖论；边际成本收费
目录
摘要
1. 引言
1.1 研究背景与意义
1.2 国内外研究现状
1.3 本文的研究内容与创新点
2. 交通分配问题的基础模型
2.1 交通网络的数学表示
2.2 路段阻抗函数
2.3 基本概念与符号体系
3. 用户均衡（UE）模型
3.1 Wardrop用户均衡原理
3.2 UE的变分不等式与互补性条件
3.3 Beckmann等价凸优化模型
3.4 UE最优性条件与Wardrop条件的等价性
4. 系统最优（SO）模型
4.1 系统最优原理
4.2 SO的数学规划模型及其最优性条件
4.3 SO与UE的等价性条件
5. 求解算法设计
5.1 经典算法回顾
5.2 一种混合算法：迭代加权最小二乘-梯度投影法
5.3 算法收敛性分析
5.4 算法性能数值验证
6. UE与SO的关系分析
6.1 UE与SO的偏差度量
6.2 Braess悖论的数学刻画
6.3 边际成本收费与系统最优的实现
1. 引言
1.1 研究背景与意义
随着全球城市化进程的加速推进，城市交通需求持续增长，交通拥堵已成为制约城市发展、影响居民生活质量的全球性问题。据联合国统计，2026年全球城市人口占比已超过60%，特大城市数量持续增加，交通基础设施供给与出行需求之间的矛盾日益突出。在此背景下，如何科学地分析和预测交通流量在网络上的分布，如何设计有效的交通管理与收费策略以缓解拥堵，成为交通工程和运筹学领域亟待解决的关键问题。
交通分配理论正是回答这些问题的核心工具。所谓交通分配，是指将给定的起讫点（Origin-Destination, OD）出行需求按照一定的规则分配到交通网络各路段上的过程。这一过程的核心在于描述出行者的路径选择行为——出行者如何在不同路径之间做出决策，以及这些个体决策如何汇聚成网络层面的流量模式。
Wardrop在1952年提出的两个基本原理——用户均衡原理和系统最优原理——为交通分配提供了理论基础。用户均衡原理认为，每个出行者都试图最小化自身的出行时间，在均衡状态下，任意OD对之间所有被使用的路径具有相等且最小的出行时间，而未被使用的路径出行时间不小于该最小值。这一原理刻画了出行者完全理性、完全信息下的自私选择行为。与之相对，系