泛函分析与偏微分方程（四）：弱拓扑的三个基本性质

无穷维赋范线性空间中弱拓扑的三个基本性质

以下三个命题是泛函分析中的经典结果，深刻揭示了无穷维空间中弱拓扑与范数拓扑的本质差异。

命题一：单位开球在弱拓扑下不是开集

命题：设XXX是一个无穷维赋范线性空间，B={ x∈X:∥x∥<1}B = \{x \in X : \|x\| < 1\}B={x∈X:∥x∥<1}为其单位开球。则BBB在弱拓扑σ(X,X∗)\sigma(X, X^*)σ(X,X∗)中不是开集。

证明：
假若BBB是弱拓扑下的开集。由于0∈B0 \in B0∈B，根据拓扑空间中开集的定义，存在原点000的一个弱邻域UUU，使得U⊆BU \subseteq BU⊆B。
由弱拓扑的定义，原点的任意基本弱邻域均可表示为如下形式：
U={ x∈X:∣fi(x)∣<ε, i=1,…,n}, U = \{x \in X : |f_i(x)| < \varepsilon,\ i = 1, \dots, n\},U={x∈X:∣fi​(x)∣<ε, i=1,…,n},
其中nnn为某正整数，f1,…,fn∈X∗f_1, \dots, f_n \in X^*f1​,…,fn​∈X∗为XXX上的连续线性泛函，ε>0\varepsilon > 0ε>0为正常数。
因此，存在这样的f1,…,fnf_1, \dots, f_nf1​,…,fn​与ε>0\varepsilon > 0ε>0，使得上述U⊆BU \subseteq BU⊆B。

考虑这nnn个泛函的公共零点空间（即核的交集）：
N=⋂i=1nker⁡fi. N = \bigcap_{i=1}^n \ker f_i.N=i=1⋂n​kerfi​.
由于每个ker⁡fi\ker f_ikerfi​均为XXX中的闭线性子空间（实为超平面），故NNN也是XXX的闭线性子空间。进一步地，考虑由这些泛函诱导的线性映射T:X→KnT: X \to \mathbb{K}^nT:X→Kn（K\mathbb{K}K为标量域），定义为T(x)=(f1(x),…,fn(x))T(x) = (f_1(x), \dots, f_n(x))T(x)=(f1​(x),…,fn​(x))。该映射的像空间至多为nnn维，而XXX为无穷维空间，故由线性代数中的维数公式可知，其核N=ker⁡TN = \ker TN=kerT必为无穷维子空间。特别地，N≠{ 0}N \neq \{0\}N={0}。

取一非零向量x0∈Nx_0 \in Nx0​∈N。对任意标量λ∈K\lambda \in \mathbb{K}λ∈K，由于x0∈ker⁡fix_0 \in \ker f_ix0​∈kerfi​对所有iii成立，有fi(λx0)=λfi(x0)=0f_i(\lambda x_0) = \lambda f_i(x_0) = 0fi​(λx0​)=λf