基本信号
傅里叶级数主要用于周期信号的表示。
常见的周期信号基本用三角函数信号和复指数信号表示。
| $$x(t)=\cos w_{0}t$$ | 余弦信号 |
| $$x(t)=e^{w_{0}t} $$ | 复指数信号 |
周期信号函数中，W0为基波频率，T=2π/w0基波周期，为最小非零正值。
傅里叶级数
当上面多个周期信号通过线性组合形成新的信号，以复指数信号为例：
| $$ x(t) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{k} e^{jkw_{0}t} =\sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{k} e^{jk(2\pi /T)t} $$ | 傅里叶级数 |
在x(t)为一个实信号，可由傅里叶级数另一个形式表示，当x*(t)=x(t)时，可得下式
$$ x(t) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{k}^{*} e^{-jkw_{0}t}$$
-k代替k时，则有
$$ x(t) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty} a_{-k}^{*} e^{jkw_{0}t}$$
$$上式与傅里叶复指数级数表示式比较可知， a_{k}=a_{-k}^{*}时，或者 a_{-k}=a_{k}^{*}$$
则x(t)中系数ak为实数时，导出的另一种形式：
$$x(t) =a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} [a_{k}e^{jkw_{0}t}+a_{-k}e^{-jkw_{0}t}] = a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} [a_{k}e^{jkw_{0}t}+a_{k}^{*} e^{-jkw_{0}t}]$$
由于式中共轭关系，则可表示为：
$$x(t) =a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} 2Re\{a_{k}e^{jkw_{0}t}\}$$
当ak用极坐标形式给出时：
$$a_{k} = A_{k}e^{j\theta _{k}}$$
$$x(t) =a_{0} + \sum_{k=1 }^{\infty} 2Re\{A_{k}e^{j(kw_{0}t+\theta _{k})}\}$$
通过欧拉公式可知：
| $$e^{jt}=\cos t+j \sin t$$ | 欧拉公式 |
| $$x(t) =a_{0} +2 \sum_{k=1 }^{\infty}A_{k}\cos({kw_{0}t+\theta _{k}})$$ | 三角函数表示式，此式为实周期信号常见到的傅里叶级数的表示式 |
若ak用笛卡尔坐标形式表示时，则可表示为：
| $$a_{k}=B_{k}+jC_{k}$$ | 笛卡尔坐标式表示，其中Bk和Ck都是实数 |
| $$x(t) =a_{0} +2 \sum_{k=1 }^{\infty}[B_{k}\cos{kw_{0}t}-C_{k}\sin{kw_{0}t}]$$ | 笛卡尔坐标式下，实周期信号的傅里叶级数表示式 |