20251227 - 点双 割点 割边
前言
Good Bye 2025，我来了！！！
You have no egg!
连通分量（极大连通子图）
子图就是从原图里面选出一些点和一些边，组成一个新的图，就叫原图的子图。
连通子图就是要满足整张子图连通。
极大连通子图就是要使得连通子图的点和边数量尽可能大，注意是极大，不是最大。
极大：就是再加一个点或边就不满足条件了！
割点：
对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。
首先，我们上一个图：
我们可以发现，割点是 2，而且这个图仅有这一个割点。
首先，我们给他打上时间戳。
如果对于一个点 \(u\)，存在一个儿子 \(v\) 不能回到比 \(u\) 更高的点，那么 \(u\) 就是割点
因为删掉 \(u\) 之后，\(v\) 所在的子树没有反祖边可以连回来。
但是如果是根节点呢？
如果根节点在搜索树上有两个或更多子节点，根节点是割点。
否则如果只有一个子节点，则不是割点
代码：
inline void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++idx;bool flag = false;int cnt = 0;for (auto v : edges[u]) {if (!dfn[v]) {cnt++;tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u] && u != fa && !flag) {flag = 1;c.push_back(u);}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}if (!flag && u == fa && cnt > 1) {c.push_back(u);}
}
割边：
和割点差不多，叫做桥。
对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。
比如说，下图中，
红色的边就是割边。
如果没有重边，只需要简单的把求割点的过程中的 \(low_v \ge dfn_u\) 改为 \(>\) 即可，
如果有重边，那么重边们一定不是桥。
我们忽略第一条边即可。
代码：
inline void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++idx;int mark = 0, flag = 0;for (auto [v, id] : edges[u]) {if (v == fa && !mark) {mark = 1;}else if (!dfn[v]) {tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] > dfn[u]) {flag = 1;ans.push_back(id);}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}
}
点双连通分量：
删去一个点后连通性不变的连通分量就是点双连通分量，简称点双。
如图：
-
两个点双之间最多只有一个公共点，这个点是割点。
-
对于一个点双，它在搜索树中 \(dfn\) 最小的点一定是割点或根节点
所以，我们用栈记录搜索过的点，在搜索到割点之后的回溯段，把点双统计出来即可。
注意：孤点
代码：
inline void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++idx;stk[++top] = u;for (auto v : edges[u]) {if (v == fa) continue;if (!dfn[v]) { tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {vector <int> ve{u};cnt[u]++;while (ve.back() != v) {ve.push_back(stk[top]);cnt[stk[top]]++;top--;}bcc.pb(ve);}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}if (u == fa && cnt[u] == 0) {bcc.pb({u});}
}
例题：
G - 嗅探器
如果 \(u\) 是割点，且将 \(A\)、\(B\) 两点割在两边，则此点可行。
如果 \(dfn_v \le dfn_B\)，就可行，统计答案即可！
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define sz(x) ((int)x.size())
#define inf (1 << 30)
#define pb push_back
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 5e5 + 7;
const int P = 998244353;
int read() {int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while (!(ch >= '0' && ch <= '9')) {if (ch == '-') f = -f;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;
}
int n, m, a, b;
vector <int> edges[N], ans;
int dfn[N], low[N], idx;
inline void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++idx;bool flag = false;int cnt = 0;for (auto v : edges[u]) {if (!dfn[v]) {tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);cnt ++;if (low[v] >= dfn[u] && !flag && u != fa && dfn[b] >= dfn[v]) {flag = 1;ans.push_back(u);}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}} if (!flag && u == fa && cnt > 1) {ans.push_back(u);}
}
int fa[N];
int find(int x) {if (fa[x] == x) return x;return fa[x] = find(fa[x]);
}
void unite(int x, int y) {x = find(x), y = find(y);if (x != y) fa[x] = y;
}
void solve() {n = read();int x, y;for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;while (scanf("%d%d", &x, &y)) {if (x == 0 && y == 0) break;m++; unite(x, y);edges[x].pb(y);edges[y].pb(x);}if (find(x) != find(y)) {puts("No solution");return;}a = read(), b = read();for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!dfn[i]) {tarjan(i, i);}}if (ans.size() == 0) {puts("No solution");return;}sort(ans.begin(), ans.end());printf("%d\n", *ans.begin());
}
int main() {int oT_To = 1;while (oT_To--) solve();return 0;
}