线性代数（十）四个基本子空间与矩阵空间

对于一个矩阵A（m行n列），可以找到其对应的四个子空间，它们分别是：
1.列空间，C(A)；因为每个列向量是m维的，所以C（A）是的子空间

2.零空间，N（A）；因为每个解向量是n维的，所以N（A）是的子空间

3.行空间，或者是对A取转置后的列空间，。是n行m列，其每个列向量是n维的，所以是的子空间

4.对A取转置后的零空间，，又称A的左零空间。是n行m列，其每个解向量是m维的，所以是的子空间。（注：为什么叫左零空间：，两边同时转置，得，所求实际上是,是一个行向量。左零空间的基都是行向量）

如果矩阵A的rank=r,则显然C(A)的维度为r，而的维度同样为r。

而N(A)的维度为n-r，因为零空间的维度就是自由变量对应的特解的数量，同时也是列空间的基的个数。而又因为矩阵转置不改变矩阵的rank，那么矩阵的左零空间的维度也为m-r。

如何得到矩阵的四个子空间的一组基呢？举例说明，

显然rank(A)=2，对于C（A）来说，其维度为2，显然其各个主列就是其一组基。如第一、二列。

而对于，我们可以先对A做初等行变换，将其化为行最简形式，化简结果（注：初等行变换会改变矩阵的列空间，但不会改变行空间）；显然，矩阵R的前两行构成了的一组基。

对于N（A），根据前文内容的介绍，我们可以将矩阵A化简为行最简形式R，并且，且零空间的基为

下面重点介绍如何求左零空间的基，即的基。

，E为初等矩阵。

代入，得，显然E的最后一行就是左零空间的基，维度为1，即只有一个基向量。

向量空间与子空间的概念可以扩展到矩阵空间与子空间，因为向量本身就是特殊的矩阵。

例如：所有的3*3矩阵可以构成一个矩阵空间M，对于其中的3阶方阵，A+B=C，C仍然是三阶方阵（加法封闭）；对于实数a，aA=D，D仍然是三阶方阵（数乘封闭）

M的子空间可以是:1.上三角阵空间；2.对称矩阵空间。

而上三角阵空间和对称矩阵空间的交集显然也是一个子空间，即对角阵空间（子空间和子空间的交集仍然是子空间）

既然是空间，同样的有基和维度的概念，对应一个三阶对角阵空间，其维度为3，一组基为：

。矩阵空间实际上是对向量空间的扩展，如将空间扩展为