张量线性图嵌入（TensorLGE）算法详解与MATLAB实现

引言

在高维数据处理中，特别是图像或视频等张量形式的数据，传统的向量降维方法（如PCA或LDA）往往会破坏数据的自然结构，导致信息丢失。张量线性图嵌入（Tensor-based Linear Graph Embedding, TensorLGE）是一种先进的降维技术，它将图嵌入框架扩展到张量空间，通过学习两个投影矩阵U和V，直接在张量上进行线性投影，保留数据的局部几何结构和全局约束。该方法适用于图像分类、模式识别等场景，能有效捕捉多维数据的内在流形。

TensorLGE的核心是迭代优化投影矩阵，使嵌入后的表示最大化图亲和性，同时支持约束矩阵D来引入额外监督或正则信息。

TensorLGE的基本原理

TensorLGE基于线性图嵌入（LGE）的张量版本。在标准LGE中，我们通过最小化嵌入后的局部散度来保持邻域关系：min trace(Y^T L Y)，其中L是拉普拉斯矩阵，Y = A^T X（X向量化）。但对于张量X（如图像矩阵），向量化会丢失空间相关性。

TensorLGE引入双线性投影：y = U^T x V，其中x是张量样本（矩阵），U和V是投影矩阵。优化目标变为交替求解U和V，使嵌入保持W（亲和矩阵）定义的相似性和D（约束矩阵，默认I）定义的约束。

数学上，它求解广义特征值问题：

• 对于固定V，求U：eig(S_v, D_v)，其中S_v = sum W_ij (X_i V) (X_j V)^T，D_v = sum D_ij (X_i V) (X_j V)^T（或sum (X_i V)(X_i V)^T如果无D