无限概括原则与罗素悖论
在朴素集合论中，人们认为任何一个“性质”都可以定义一个集合，这个集合由所有满足该性质的元素组成，如：
- 性质“是自然数”，集合 \(\mathbb{N}\)
- 性质“是红色”，所有红色物体的集合
这种思想称为无限概括原则：
\[\{x \mid P(x) \}
\]
对任何谓词 \(P\) 都存在一个集合。
罗素考虑这样一个性质：
\[x \not \in x
\]
实际上，任何有限集合 \(x\) 都满足 \(x \not \in x\) ，否则 \(x\) 必然存在一个递归链会无限递归。
比如 \(A = \{1, 2, 3\}\) ，显然 \(1, 2, 3\) 属于 \(A\) ，但是 \(A = \{1, 2, 3\}\) 属于 \(A\) 吗？并不。
比如 \(B = \{1, 2, 3, \{1, 2, 3\}\}\) ，显然 \(1, 2, 3, \{1, 2, 3\}\) 属于 \(B\) ，但是 \(B = \{1, 2, 3, \{1, 2, 3\}\}\) 属于 \(B\) 吗？并不。
按照概括原则，可以定义集合
\[S = \{ x \mid x \not \in x \}
\]
现在询问 \(S\) 是否满足 \(S \in S\) ？
- 假设 \(S \in S\) 。
根据 \(S\) 的定义，它的所有元素都满足 \(x \not \in x\) ，因此 \(S \in S\) 与 \(S\) 的定义矛盾。 - 假设 \(S \not \in S\) 。
那么 \(S\) 满足性质 \(R(x): x \not \in x\) ，则 \(S\) 应当满足 \(S \in S\) ，与假设 \(S \not \in S\) 矛盾。
这即是罗素悖论。
罗素悖论能给我们一个很好的解释，所有集合在一起不叫集合。所以范畴论中我们通常会使用类，即一种任意大小的收集。
范畴
我们称
\[\mathbf{C} = (\text{ob}(\mathbf{C}), \text{hom}(\mathbf{C}))
\]
是一个范畴，如果它满足下列条件。
- 对象：\(\text{ob}(\mathbf{C})\) 是一个类，称为 \(\mathbf{C}\) 中的对象。
- 态射：对于任意 \(A, B \in \mathbf{C}\) ，我们都定义 \(\mathbf{C}(A, B) \subset \text{hom}(\mathbf{C})\) ，\(\mathbf{C}(A, B)\) 的元素称为从 \(A\) 到 \(B\) 的态射。
- 复合运算：\(\forall g \in \mathbf{C}(B, C), f \in \mathbf{C}(A, B)\)
常见范畴
函子
常见函子