二维坐标旋转公式
一、核心概念
在二维坐标系中，一个点围绕某个旋转中心旋转时，其坐标会发生变化。
旋转可分为两种情况：
- 绕坐标原点 (0,0) 旋转
- 绕任意点 (cx, cy) 旋转
推导基于三角函数与极坐标的关系。
二、绕原点 (0,0) 旋转
1️⃣ 参数定义
- 初始点：((x_1, y_1))
- 旋转后点：((x_2, y_2))
- 点在极坐标下：((p_1, \alpha_1))
- 旋转角度：(b)
有：
[
x_1 = p_1 \cos \alpha_1, \quad y_1 = p_1 \sin \alpha_1
]
旋转后角度：
[
\alpha_2 = \alpha_1 + b
]
2️⃣ 推导过程
[
x_2 = p_1 \cos(\alpha_1 + b)
= p_1(\cos\alpha_1\cos b - \sin\alpha_1\sin b)
= x_1\cos b - y_1\sin b
]
[
y_2 = p_1 \sin(\alpha_1 + b)
= p_1(\sin\alpha_1\cos b + \cos\alpha_1\sin b)
= y_1\cos b + x_1\sin b
]
✅ 最终公式（绕原点旋转）
[
\boxed{
\begin{cases}
x_2 = x_1 \cos b - y_1 \sin b
y_2 = y_1 \cos b + x_1 \sin b
\end{cases}
}
]
三、绕任意点 (cx, cy) 旋转
1️⃣ 参数定义
- 初始点：((x_1, y_1))
- 旋转中心：((c_x, c_y))
- 旋转角度：(b)
- 相对偏移：
[
dx_1 = x_1 - c_x, \quad dy_1 = y_1 - c_y
]
2️⃣ 推导过程
相对坐标旋转：
[
\begin{cases}
dx_2 = dx_1\cos b - dy_1\sin b
dy_2 = dy_1\cos b + dx_1\sin b
\end{cases}
]
再加上旋转中心坐标：
[
\begin{cases}
x_2 = c_x + (x_1 - c_x)\cos b - (y_1 - c_y)\sin b
y_2 = c_y + (y_1 - c_y)\cos b + (x_1 - c_x)\sin b
\end{cases}
]
✅ 最终公式（绕任意点旋转）
[
\boxed{
\begin{cases}
x_2 = c_x + (x_1 - c_x)\cos b - (y_1 - c_y)\sin b
y_2 = c_y + (y_1 - c_y)\cos b + (x_1 - c_x)\sin b
\end{cases}
}
]
四、几何意义与应用
| 情况 | 旋转中心 | 特征 | 应用场景 |
|---|---|---|---|
| 绕原点旋转 | (0,0) | 简单、对称 | 图形整体旋转、坐标变换 |
| 绕任意点旋转 | (cx, cy) | 含中心偏移项 | 图像旋转、仿射变换、点云变换 |
五、记忆技巧
-
原点旋转公式 是最基础模板。
-
任意点旋转 可理解为：
- 先平移点 → 让旋转中心移到原点；
- 再按原点公式旋转；
- 最后平移回原位置。
-
旋转方向通常按逆时针为正角度，可根据需要取反。
📌 一句话总结：
绕原点旋转：坐标直接乘旋转矩阵；
绕任意点旋转：平移 → 旋转 → 逆平移。