通信原理篇---数字带通传输系统设计（2）
一、基础知识点回顾
1.模拟信号的 PCM 编码流程
抽样：频率 fs≥2fmfs≥2fm（奈奎斯特抽样定理），fmfm 为信号最高频率。
量化：将抽样值用有限个电平表示。
编码：每个量化电平用 nn 位二进制码表示。
输出二进制信息速率：
Rb=fs×n(bps)Rb=fs×n(bps)
2.2PSK 调制与带宽
2PSK（BPSK）是二进制相移键控，一个符号（1 bit）对应一个载波相位（0 或 π）。
基带码型是不归零矩形脉冲时，2PSK 信号的功率谱主瓣宽度为 2Rb2Rb（零点带宽）。
若基带先经过升余弦滚降滤波（α），再进行 2PSK 调制，则已调信号带宽为：
B2PSK=(1+α)×Rb2×2???B2PSK=(1+α)×2Rb×2???等一下，要澄清：滚降是对基带符号进行，设符号速率 Rs=RbRs=Rb（BPSK 时 1 符号=1 bit），滚降基带信号的双边带宽为：
B基带=(1+α)⋅Rs2B基带=(1+α)⋅2Rs但这是低通带宽。2PSK 调制后频谱搬移到 ±fc±fc，主瓣宽度是基带带宽的 2 倍：
B2PSK=2×B基带=(1+α)⋅RsB2PSK=2×B基带=(1+α)⋅Rs由于 BPSK 时 Rs=RbRs=Rb，所以：
B2PSK=(1+α)⋅RbB2PSK=(1+α)⋅Rb注意这里单位是 Hz，RbRb 是比特率，也是符号率（BPSK）。
3.频带利用率
η=RbB2PSK=Rb(1+α)Rb=11+α(bps/Hz)η=B2PSKRb=(1+α)RbRb=1+α1(bps/Hz)
可见 BPSK + 升余弦滚降基带信号的频带利用率与 α 有关，理论最大为 1（当 α=0 时），实际 α>0 时小于 1。
二、逐步解答
(1) 抽样频率与编码输出信息速率
已知模拟信号频率范围 [0,2000] Hz[0,2000] Hz，最高频率 fm=2000 Hzfm=2000 Hz。
最低抽样频率：
fs=2fm=4000 Hzfs=2fm=4000 Hz通常取略高于此，但题目未指定，就按 fs=4000 Hzfs=4000 Hz 计算。
编码位数 n=6n=6。
输出二进制信息速率：
Rb=fs×n=4000×6=24000 bpsRb=fs×n=4000×6=24000 bps
答：
抽样频率 fs=4 kHzfs=4 kHz（或写 4000 Hz）；
信息速率 Rb=24 kbpsRb=24 kbps。
(2) 2PSK 主瓣带宽与频带利用率（未滚降）
未滚降时，基带为矩形脉冲，2PSK 功率谱主瓣宽度 2Rb2Rb（零点带宽）：
B2PSK=2Rb=48 kHzB2PSK=2Rb=48 kHz
频带利用率：
η=RbB=2400048000=0.5 bps/Hzη=BRb=4800024000=0.5 bps/Hz
答：
2PSK 主瓣带宽 48 kHz48 kHz，频带利用率 0.5 bps/Hz0.5 bps/Hz。
(3) 带升余弦滚降的 2PSK 系统设计
已知此时频带利用率 η=0.71 bps/Hzη=0.71 bps/Hz。
由公式：
η=11+αη=1+α1
得：
0.71=11+α⇒1+α=10.71≈1.4080.71=1+α1⇒1+α=0.711≈1.408α≈0.408α≈0.408
此时占用信道带宽：
B=Rbη=240000.71≈33802.8 Hz≈33.8 kHzB=ηRb=0.7124000≈33802.8 Hz≈33.8 kHz
或直接用 B=(1+α)Rb=1.408×24000≈33.8 kHzB=(1+α)Rb=1.408×24000≈33.8 kHz。
系统框图：
text
模拟信号 m(t) → [低通滤波] f_m=2000 Hz → [抽样] f_s=4 kHz → [量化] 64 级 → [PCM编码] 6 位/样值 → [串行化] → [基带升余弦滚降滤波] α=0.408 → [BPSK调制] 载波 cos(2πf_c t) → 信道 接收端： 接收信号 → [带通滤波] → [相干解调] × cos(2πf_c t) → [低通滤波] → [匹配滤波/升余弦滚降接收滤波] → [抽样判决] → [PCM解码] → [低通滤波重建] → 模拟输出
(4) 带宽不变，传输速率增至 9600 bps 的重新设计
原带宽 B≈33.8 kHzB≈33.8 kHz 不变，现在 Rb=9600 bpsRb=9600 bps。
频带利用率：
η=RbB=960033802.8≈0.284 bps/Hzη=BRb=33802.89600≈0.284 bps/Hz
但如此低的 η 意味着可以改用更高阶调制。
如果保持相同的符号速率RsRs 呢？
不对，带宽 B=(1+α)RsB=(1+α)Rs（BPSK 时 Rs=RbRs=Rb），现在若仍用 α=0.408 的升余弦滤波，则：
Rs=B1+α=33.8 kHz1.408≈24 kBaudRs=1+αB=1.40833.8 kHz≈24 kBaud
若符号速率 Rs=24 kBaudRs=24 kBaud，要得到 Rb=9600 bpsRb=9600 bps，则每个符号应携带的比特数：
m=RbRs=960024000=0.4不合理，应 m≥1m=RsRb=240009600=0.4不合理，应 m≥1
这说明：在相同带宽下，要提高比特率，必须提高调制阶数，同时符号速率不变。
应重新设计系统：
改变 PCM 部分？但题意是传输速率增至 9600 bps，可能意味着 PCM 输出直接是 9600 bps（例如改变抽样频率或编码位数，或采用压缩编码），但原 PCM 输出 24000 bps，现在要 9600 bps，那么需要降低 PCM 的码率（例如用 ADPCM 压缩）。
然后进行高阶调制，如QPSK（m=2）或更高，以保持符号速率较低、适应带宽。
设新的系统 PCM 输出为 Rb=9600 bpsRb=9600 bps，若用 QPSK（m=2），则符号速率 Rs=4800 BaudRs=4800 Baud。
带宽公式 B=(1+α)RsB=(1+α)Rs，给定 B≈33.8 kHz，则：
1+α=338004800≈7.04⇒α≈6.041+α=480033800≈7.04⇒α≈6.04
这 α>1 不合理，因为滚降系数 α 应在 0~1 之间。
因此 QPSK 仍不够，要用更高阶调制，如 16QAM（m=4）。
用 16QAM（m=4）：
Rs=96004=2400 BaudRs=49600=2400 Baud
所需带宽（α=0.408）：
B=(1+0.408)×2400≈3380 Hz (远小于 33.8 kHz)B=(1+0.408)×2400≈3380 Hz (远小于 33.8 kHz)
但题目说“带宽不变”，所以可以增大 α 到很大（但工程上常用 0<α≤1），或者直接用理想 Nyquist 带宽 α=0，此时：
B=Rs=2400 Hz (仍小于 33.8 kHz)B=Rs=2400 Hz (仍小于 33.8 kHz)
所以带宽有富余，可能用 α 接近 1 让带宽增大到接近 33.8 kHz。
更合理推测：题设可能希望我们保持 α 不变（如 α=0.408），而调制方式从 BPSK 改为更高阶，比如 16QAM，则符号速率降低，带宽减小。但题目要求“带宽不变”，可以加更多冗余（信道编码）或仍然用 BPSK 但降低 PCM 输出速率 并 增加 α 使带宽保持不变。然而 α>1 不符合常规升余弦定义。
可能期望的回答是：
新系统框图：
模拟信号 → 抽样（可能降低 fsfs 或减少 n） → PCM（输出 9600 bps） → 串行 → 基带升余弦滤波（α 仍取 0.408） → QPSK 调制（载波） → 信道。
但此时带宽：
B=(1+α)×Rblog2MB=(1+α)×log2MRb
用 QPSK（M=4）：
B=1.408×96002=1.408×4800=6758.4 HzB=1.408×29600=1.408×4800=6758.4 Hz
仍小于 33.8 kHz。
可见带宽有很大富余，所以频带利用率很低：
η=960033800≈0.284η=338009600≈0.284
三、最终答案整理
(1)
抽样频率 fs=4 kHzfs=4 kHz；
PCM 编码输出信息速率 Rb=24 kbpsRb=24 kbps。
(2)
2PSK 主瓣带宽 48 kHz48 kHz；
频带利用率 η=0.5 bps/Hzη=0.5 bps/Hz。
(3)
滚降系数 α≈0.408α≈0.408；
占用信道带宽 B≈33.8 kHzB≈33.8 kHz；
系统框图（见上）。
(4)
重新设计：降低 PCM 输出速率至 9600 bps（可通过降低抽样频率或减少编码位数或语音压缩），采用 QPSK 调制（M=4），基带仍用 α≈0.408 升余弦滤波，带宽会降低到约 6.76 kHz（远小于 33.8 kHz），如果坚持“带宽不变”，可增大 α 到很大（但实际不现实），或加冗余（编码），但频带利用率会降低。
题中要求频带利用率：
η=960033800≈0.284 bps/Hzη=338009600≈0.284 bps/Hz
对应系统框图：模拟信号 → 抽样量化编码（输出 9600 bps）→ 串行 → QPSK 调制 → 发送。
四、核心公式与概念表
| 概念 | 公式 |
|---|---|
| PCM 信息速率 | Rb=fs×nRb=fs×n |
| BPSK 主瓣带宽（矩形脉冲） | B=2RbB=2Rb |
| BPSK + 升余弦带宽 | B=(1+α)RbB=(1+α)Rb |
| 频带利用率（BPSK+升余弦） | η=1/(1+α)η=1/(1+α) |
| 符号速率与比特率关系 | Rs=Rb/log2MRs=Rb/log2M |
| 升余弦基带带宽 | B基带=(1+α)Rs/2B基带=(1+α)Rs/2 |
| 已调信号带宽（双边带） | 2×B基带=(1+α)Rs2×B基带=(1+α)Rs（对 BPSK Rs=RbRs=Rb） |