36、鲁棒凸优化的网络并行算法

鲁棒凸优化的网络并行算法

1. 引言

在鲁棒凸优化（RCO）问题中，为了克服耦合约束，每个节点会通过处理本地约束并与邻居节点交互来更新最优解的本地副本。这里采用了共识算法来处理耦合约束，并设计了一种新颖的两阶段递归算法。第一阶段解决无约束优化问题，去除分布式优化中的解耦本地约束，得到每个节点的中间状态向量；第二阶段，每个节点采用广义 Polyak 随机算法处理解耦的本地约束，将中间状态向量移向随机选择的本地约束集。在一些温和条件下，最终几乎可以确保每个节点迭代的共识和可行性。

2. 鲁棒凸优化与场景方法

2.1 鲁棒凸优化

考虑如下形式的鲁棒凸优化问题：
[
\min_{\theta\in\Theta} c’\theta \quad \text{subject to} \quad f(\theta, q) \leq 0, \quad \forall q \in Q
]
其中，(\Theta \subseteq \mathbb{R}^n) 是具有非空内部的凸闭集，标量值函数 (f(\theta, q) : \mathbb{R}^n \times Q \to \mathbb{R}) 对于任意 (q \in Q \subseteq \mathbb{R}^{\ell}) 在设计向量 (\theta) 上是凸的。不确定性 (q) 进入约束函数 (f(\theta, q)) 时不假设任何结构，除了对于任何固定的 (\theta)，(f(\theta, \cdot)) 具有 Borel 可测性。为了简化，目标函数 (c’\theta \in \mathbb{R}) 设为关于 (\theta) 的线性函数，这并不损失一般性。例如