QOJ#12181. abc
题意
给你一个包含 \(\texttt{a,b,c}\) 的字符串。求所有区间的权值和。一个区间的权值定义为区间内出现次数的字母的个数，减去出现次数最少的字母的个数。（出现次数不为 \(0\)）
\(n \le 2 \times 10^5\)。
思路
原式很难分讨。所以要先统一一下式子。
- 对于包含 \(3\) 种不同字母的区间 \([l,r]\)：
\[val_{l,r} = \frac{|c_a-c_b| + |c_b-c_c| + |c_c-c_a|}2
\]
- 对于包含 \(2\) 种不同字母的区间 \([l,r]\)，假设它包含 \(a,b\)。
\[val_{l,r} = |c_a-c_b|
\]
- 对于包含 \(1\) 种不同字母的区间 \([l,r]\)，没有贡献。
这里怎么线性维护，感觉还是有点困难的。
这样要维护什么就很显然了吧。首先贡献乘二以去掉分母。
一种比较简洁的维护方法是，枚举两个字母 \(A,B\)。
- 对于包含 \(A,B\) 的区间，计算 \(2|c_A - c_B|\)。这恰好满足包含两种不同字母的区间的贡献。
- 对于包含三种字母的区间，要减去多余的贡献。计算 \(-|c_A - c_B|\)。
我们枚举区间右端点 \(r\)。
维护以 \(r\) 为右端点的区间的贡献。怎么从 \(r-1\) 转移过来。
加入 \(a_r\) 后，绝对值为 \(0,\pm1\) 的贡献需要变化。我们用 \(cnt_x\) 存差值（非绝对值）为 \(x\) 的区间个数。
因为不能左右移 \(cnt\) 数组。所以再记一个偏移量 \(tag\) 即可。
加入 \(a_r\) 后有可能要加入新的区间。直接加即可。
时间复杂度线性。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
namespace wing_heart {constexpr int N=2e5+7;int n;char s[N];int t[N];int cnt[N<<1],tag;ll ans;void solve(int a,int b) {memset(cnt,0,sizeof(cnt)); tag=0;int cl=0,cr=0;ll sl=0,sr=0;int sa=0,sb=0;int l=0;rep(r,1,n) {if(t[r]==a) cr+=cnt[-tag+N],sr+=cr,tag++,sl-=cl,cl-=cnt[-tag+N],sa++;if(t[r]==b) cl+=cnt[-tag+N],sl+=cl,tag--,sr-=cr,cr-=cnt[-tag+N],sb++;while(sa && sb) {++l;cnt[sa-sb-tag+N]++;if(sa-sb>0) cr++, sr+=sa-sb;if(sa-sb<0) cl++, sl+=sb-sa;if(t[l]==a) --sa;if(t[l]==b) --sb;}ans+=2*(sl+sr);}memset(cnt,0,sizeof(cnt)); tag=0;cl=0,cr=0;sl=0,sr=0;sa=0,sb=0;int sc=0,c=3^a^b;l=0;rep(r,1,n) {if(t[r]==a) cr+=cnt[-tag+N],sr+=cr,tag++,sl-=cl,cl-=cnt[-tag+N],sa++;if(t[r]==b) cl+=cnt[-tag+N],sl+=cl,tag--,sr-=cr,cr-=cnt[-tag+N],sb++;if(t[r]==c) sc++;while(sa && sb && sc) {++l;cnt[sa-sb-tag+N]++;if(sa-sb>0) cr++, sr+=sa-sb;if(sa-sb<0) cl++, sl+=sb-sa;if(t[l]==a) --sa;if(t[l]==b) --sb;if(t[l]==c) --sc;}ans-=sl+sr;}}void main() {sf("%d",&n);sf("%s",s+1);rep(i,1,n) t[i] = s[i]-'a';solve(0,1), solve(1,2), solve(2,0);pf("%lld\n",ans/2);}
}
int main() {#ifdef LOCALfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("my.out","w",stdout);#endifwing_heart :: main();
}