四元数散度和旋度-8
先前给出了简单的三轴垂直关系。实际上只是半个三轴，若要补全三轴，则只需要在相反的方向上加一个负号，也就是乘以虚数单位的平方，
比如说 z 轴的正方向相对于 x 轴的正方向要乘以，那么它的负方向，相对于 x 轴就要乘以
。不过这是假定 x 轴的正方向为 1 的前提下，而考虑到四元数中 x 的单位为虚数单位
，那么图中的各个数量都得乘以
倍，
各个轴和虚数单位幂次的对应为，
这里出现了和
相等的情况，应当调整，根据对称性调整为，
为了保持正的幂次大于负的幂次，将 z 的方向颠倒，
于是得到这些正反方向对应于虚数单位的幂次，
这个模式中缺少 +3 和 +5 次，若要添加，只能放在 x 轴上，
还有原点，我们把原点作为虚数单位的 0 次，
这样的话，从 0 到 6 的虚数单位的 7 个幂次，都在这个图上了。其中 x 上叠加了 3 和 5 两个高次幂。也从相对
叠加到
。如果要把
也加上，那么也只能放在，
加上是因为 0 到 7 正好 8 个幂次，两个周期。另外
加在
，也说明了
具有特殊的意义，后面具体讨论。
现在考虑一个单位四元数，
所谓单位，就是每一个进制位上都是 1 ，或者单位向量，
对照上面的方向，
但 x 和 y 都出现了两次，所以这个方法是不对的，应当将 0 次幂对应于原点， x 和 y 和 z 各自出现一次，
但情况不如所愿，其中对应在了 0 次幂上，而
没有对应物。但是我们对这个数量并不陌生，因为有，
所以，
由于其它轴都是长度，这个数是时间比长度得到一个纯数，所以这个数实际上就是时间（注意这里还有）。现在考虑任意四元数，
它的四维坐标形式为，
按照 x,y,z,t 的顺序为，
我们知道，作为时间，它对应的空间长度在
上，而作为坐标， x 轴上不能有两次映射，所以
的三维坐标不能含有
，那么它的三维坐标就只能是，
需要指出的是，，也就是每一个分量的取值，是有范围的，从
到
也就是下一个层次的单位之间具有 0 到的取值范围，
如果达到虚数单位，就相当于，
变成了，
x 坐标就变成了 t 坐标， y 坐标变成了 x 坐标， z 坐标变成了 y 坐标。如果把这些坐标的变化量都除以对应的时间，这个坐标就成了一个速度场，可见这个速度场是有极限的，极限就是坐标不能换位置，而这就是光速的作用。
对于点，
来说也可以不考虑时间坐标，只考虑其它三个坐标，也就是，
这三个坐标分量，不考虑轴对应的虚数单位幂次，只考虑单位的倍数，则两两可以构成角度的正切值，
对应于角度的三个顶点连接，可以构成一个三角形或者一个平面。也就是说，一个四元数（超复数），注意是一个四元数，在不考虑其时间分量的前提下，就可以对应于一个平面（的方向）或者一个三角形（以及其法线方向）。
假定我们用一个 3D 系统绘制一个球面。显然我们要给出一系列的三角形。构成三角形需要三个点的坐标，每一个点需要 xyz 三个维数上的分量，所以绘制一个三角形，需要 9 个数。但是绘制两个相邻的三角形，就可以通过公用一条边，省去两个坐标，也就是 6 个数，那么两个三角形用 9+9-6=12 个数就可以描述。
而如果我们给出相邻的标架，假定标架都是局部的小标架，且彼此相邻，彼此正方向之间存在一定的空间角度，那么我们可以借助标架用三个数就描述一个三角形，也就是说，用一个三维向量就可以描述一个三角形，而相邻的标架又给相邻的向量构成相邻的三角形提供了条件。只需要连续的略微旋转标架，就可以给出构成连续三角形的骨架，再在这个骨架上贴上
描述的三角形，就可以构成一个球面。我们用时间维数来指导骨架的连接和连续转动，用若干
完成对骨架的局部贴图，这样的话就可以用上所有的维数。
局部的骨架是观察者假定的，旋转的过程是时间维数指导的，局部骨架的贴图是空间维数描述而构成的。换句话说，我们用一大堆具有某种时空连续性的四元数，就可以构成一个球面，或者说一个球（考虑庞加莱猜想，以及世界模型）。
点 p 相对于局部的原点，可以作为一个向量来理解，
如果对其时间分量做归一化处理，就得到了
这是一个由若干点 p 描述的速度矢量场，按照 xyz 顺序，
同样的向量场，若考虑和
的等位性，则可以得到，
由于，
两者即是相等的，又是不相等的。在 4 周期虚数单位的前提下，两者相等，若考虑虚数单位的实际值，则两者大小相差极大，
这就使得向量场本身就具有一个“前进”的速度，或者说时间的速度。从对应的
到
对应的
本身就存在一个变化或者加速的过程。这也可以从，
的方向体现出来，这个方向就是速度场随着时间运动的正方向。由于包括时间在内的所有坐标轴都是类时的，所以这就是一个周期从长到短，频率从低到高的频率提升过程。
以上说的是速度矢量场，可以认为是一个物体在平动的速度的体现。那么转动呢？现在我们要把物体的运动正方向从转到
，或者
。正如先前所说的，正如先前所说的，只需要将其乘以
或者
即可实现直角转弯，