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二次函数最值问题(25年广州二模)

news 2026/5/12 1:20:16

专题：二次函数 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ 题型：最值问题 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ 难度系数：★★★★

【题目】

（2025·广东广州·二模）如图，二次函数$ y=ax^2+bx+2 $的图象与$ x $轴交于$ A(-1,0) $、$ B(4,0) $两点，与$ y $轴交于点$ C $，一次函数$ y=mx+n $经过点$ B $、$ C $．点$ P $是直线$ BC $上方二次函数图象上的一个动点，过点$ P $作直线$ PD⊥x $轴于点$ D $，交直线$ BC $于点$ E $，连接$ CP $．

(1)求二次函数和一次函数的解析式；
(2)当$ △CEP $是以$ PE $为底边的等腰三角形时，求点$ P $的坐标； (3)连接$ BP $，连接$ AP $交$ BC $于点$ M $，记$ △ABM $面积为$ S_1 $，$ △PBM $面积为$ S_2 $，在点$ P $运动的过程中，判断$ \dfrac{S_2}{S_1} $是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．

【详解】

第一问：

$ ∵ $二次函数$ y=ax^2+bx+2 $的图象经过点$ A(-1,0) $，$ B(4,0) $， $ ∴y=a(x+1)(x-4)=ax^2-3ax-4a $， (① 利用交点式会使得减少计算量； ②$ -1、4 $是$ ax^2+bx+2=0 $的两个实数根，利用韦达定理求解也可以 ) $ ∴-4a=2 $，解得：$ a=-\dfrac{1}{2} $， $ ∴ $二次函数解析式为$ y=-\dfrac{1}{2} (x+1)(x-4) $，即$ y=-\dfrac{1}{2} x^2+\dfrac{3}{2}x+2 $．当$ x=0 $，$ y=-\dfrac{1}{2} x^2+\dfrac{3}{2} x+2=2 $，$ ∴C(0,2) $，一次函数$ y=mx+n $过点$ B(4,0) $和$ C(0,2) $，代入，得$ \left{
\begin{array}{c}
4m+n=0\
n=2
\end{array}
\right.
$，解得$ \left{
\begin{array}{c}
m=-\dfrac{1}{2} \
n=2
\end{array}
\right.
$， (利用待定系数法求直线方程，若知道高中的“点斜式”在选填题求直线方程会更简便) $ ∴ $一次函数解析式为$ y=-\dfrac{1}{2} x+2 $；

第二问：

解：依题意，可设$ P(x,-\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{3x}{2} +2) $，则$ E(x,-\dfrac{1}{2} x+2) $， (点在函数图象上，往往若点是定点就求出点的坐标，是动点则设点坐标。) 过点$ C $作$ CF⊥PE $于点$ F $，

$ ∵△CEP $是以$ PE $为底边的等腰三角形，$ ∴PF=FE $，$ CF∥x $轴， (见到等腰三角形，想到三线合一，便可知F是$ PE $的中点，由中点公式得$ y_F=\dfrac{y_P+y_E}{2} $； 本题也可以由$ CP=CE $用两点距离公式求解，但计算量会大些) $ ∴F $的纵坐标为$ 2 $， $ ∴\dfrac{(-\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{3x}{2} +2)+(-\dfrac{1}{2} x+2)}{2}=2 $，

即有$ -\dfrac{x^2}{2} +x=0 $，解得：$ x=0 $（舍去）或$ x=2 $， $ ∴P(2,3) $．

第三问：

解：$ ∵△ABM $面积为$ S_1 $，$ △PBM $面积为$ S_2 $，$ ∴\dfrac{S_2}{S_1} =\dfrac{PM}{AM} $， （看到面积，要不用到割补法要不就直接想到面积公式；本题要求$ \dfrac{S_2}{S_1} $ ，显然利用三角形面积公式，以$ CM $为底，把$ \dfrac{S_2}{S_1} $转化为两个高的比也可以，但想到$ \dfrac{S_2}{S_1} =\dfrac{PM}{AM} $会更简单些） (要求$ \dfrac{PM}{AM} $，容易想到相似对应边成比例或锐角三角函数；那如何找到相似三角形是关键) 如图，过$ A $作$ AQ∥ y $轴交$ BC $于$ Q $，而直线$ PD⊥x $轴， $ ∴PE∥ y $轴，则$ PE∥ AQ $，

$ ∴△PEM∽△AQM $，$ ∴\dfrac{PM}{AM} =\dfrac{PE}{AQ} $， $ ∵A(-1,0) $，直线$ BC $为$ y=-\dfrac{1}{2} x+2 $， $ ∴x_Q=-1 $，$ y_Q=-\dfrac{1}{2} ×(-1)+2=\dfrac{5}{2} $，

即$ Q(-1,\dfrac{5}{2} ) $，$ ∴AQ=\dfrac{5}{2} $ ，
$ ∵P(x,-\dfrac{x^2}{2} +\dfrac{3x}{2} +2) $，$ E(x,-\dfrac{1}{2} x+2) $， $ ∴PE=-\dfrac{1}{2} x^2+\dfrac{3}{2} x+2+\dfrac{1}{2} x-2=-\dfrac{1}{2} x^2+2x $， $ ∴\dfrac{S_2}{S_1} =\dfrac{PE}{AQ} =\dfrac{2}{5} (-\dfrac{1}{2} x^2+2x)=-\dfrac{1}{5} x^2+\dfrac{4}{5} x $， ∵点$ P $是直线$ BC $上方二次函数图象上的一个动点， $ ∴0<x<4 $(注意细节)，而$ -\dfrac{1}{5} <0 $，则$ \dfrac{S_2}{S_1} $有最大值，当$ x=-\dfrac{\dfrac{4}{5}}{2\times(-\dfrac{1}{5})}=2 $时，$ \dfrac{S_2}{S_1} $的最大值为：$ \dfrac{4}{5} $ ．
（求最值问题，大方向有几何法和代数法，本题属于代数法，一般套路是设元$ x $，利用x表示$ \dfrac{S_2}{S_1} $ ，再求所得式子的最值；初中阶段$ x $是某个点的横纵坐标或某条线段长度或某个角的角度等，最后的式子常常是二次函数）