35、微分几何与非线性系统线性化：理论、方法与应用

微分几何与非线性系统线性化：理论、方法与应用

1. 魏 - 诺曼公式与问题转换

魏 - 诺曼公式将李群上的微分方程问题转化为 $\mathbb{R}^n$ 中的问题。它把从初始配置 $g_i$ 到最终配置 $g_f$ 的控制问题，转换为从 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $y(0)$ 到 $y(1)$ 的控制问题。这一转换为后续的研究提供了便利，使得我们可以在更熟悉的 $\mathbb{R}^n$ 空间中进行分析和求解。

2. 微分几何相关研究概述

在微分几何领域，有许多优秀的教材可供参考。在李群相关研究方面，早期有 Brockett、Baillieul 等的贡献。李群在机器人运动学和控制中的应用由 Brockett 引入，并在 Murray、Li 和 Sastry 的工作中得到发展。此外，李群系统的控制、插值问题、量子和键选择性化学中的应用以及最优控制等方面都有大量的研究成果。

3. 微分几何练习题

以下是一系列与微分几何相关的练习题，涵盖了命题证明、流形性质研究、切丛几何描述等多个方面：
-命题证明类
- 证明命题 8.3。
- 证明流形 $M$ 的切丛 $TM$ 也是一个流形，且其维度是 $M$ 的两倍。
- 证明分布对合性的定义与基无关。
- 证明命题 8.14。
-切丛相关问题
- 给出圆 $S^1$、环面 $S^1\times S^1$ 和圆柱 $S^1\times\mathbb{R}$ 的切丛的几何描述，并探讨两个流形乘积 $M_1\times M_2$ 的切丛情