Problem
设有一个大小为 $ n $ 的集合，进行 $ n $ 次操作，每次从集合中随机选取一个元素并记录之，求所有操作结束后，所记录的元素中互不相同的元素的个数的期望 $ E(X) $。
分析
通常示性函数在应用与解决此类问题时比传统的求分布列的方法更加便捷，因为求分布列后再求解期望不可避免地要进行组合数运算化简，既耗费了时间，也提高了错误率（过程一处算错结果就变成不可名状之物）。所以使用示性函数能使我们绕开分布求解期望，解决上述问题。
Solution
设 $ A $ 为一个元素至少被记录一次，则 $ P(A) = 1- P( \bar{A} ) = 1 - { ( \frac{ n-1 }{ n } ) }^n $。
示性函数 $ I_A(i) $ 为
\[I_A(i)=
\begin{cases}
1 & 第i个元素被记录 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
则 $ E(I_A(i)) = P(A) $ ， $ E(X) = E(\sum_{i=1}^{n} I_A(i)) = \sum_{i=1}^{n} E( I_A(i)) = n·( 1 - { ( \frac{ n-1 }{ n } ) }^n )$ 。