对网格 \(A\)黑白染色，黑色位置正负取反。这样操作就变为，左上右下加 \(x\)，右上左下减 \(x\)。
记 \(sx_i=\sum_{j=1}^m A_{i,j}\)，\(sy_j=\sum_{i=1}^n A_{i,j}\)。
容易发现，任意行列的和都与 \(A\) 相同的所有矩阵都是可达的。
接下来考虑怎么算出最小的最终矩阵 \(B\)。
首先有：答案不小于 \(Sx=\sum_{i=1}^n |sx_i|\)，也不小于 \(Sy=\sum_{j=1}^m |sy_j|\)。
我们尝试证明答案能取到 \(\max(Sx,Sy)\) 这个下界。
把 \(sx_i\) 看做需要给行 \(i\) 分配 \(sx_i\) 的总权值，\(sy_j\) 同理。
- 那么每次如果存在一个 \(sx_i\) 和 \(sy_j\) 同号则在 \(B_{i,j}\) 算上 \(\min(|sx_i|,|sy_j|)\) 的贡献（正负符号取决于 \(sx,sy\)）。
- 如果不存在同号则操作一对 \(sx_{u}>0,sx_{v}<0\) 或一对 \(sy_u>0,sy_u<0\)，直至所有 \(sx,sy\) 都为 \(0\)。
上述过程可以理解为，操作一对 \(sx_i,sy_j\) 的时候，是给 \(Sx,Sy\) 都减去一个数。而开始操作两行/两列的时候，就等价于 \(Sx,Sy\) 中的一个已经减到 \(0\) 了（因为 \(\sum_{i=1}^n sx_i=\sum_{j=1}^m sy_j\)）
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
#define FL(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define FR(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 510;
int n, m;
ll sx[N], sy[N], B[N][N];
bool Work() {int px = 0, nx = 0;int py = 0, ny = 0;FL(i, 1, n) {if (sx[i] > 0) px = i;if (sx[i] < 0) nx = i;}FL(i, 1, m) {if (sy[i] > 0) py = i;if (sy[i] < 0) ny = i;}if (px && py) {ll t = min(sx[px], sy[py]);B[px][py] += t;sx[px] -= t, sy[py] -= t;return 1;}if (nx && ny) {ll t = max(sx[nx], sy[ny]);B[nx][ny] += t;sx[nx] -= t, sy[ny] -= t;return 1;}if (px && nx) {ll t = min(sx[px], -sx[nx]);B[px][1] += t, B[nx][1] -= t;sx[px] -= t, sx[nx] += t;return 1;}if (py && ny) {ll t = min(sy[py], -sy[ny]);B[1][py] += t, B[1][ny] -= t;sy[py] -= t, sy[ny] += t;return 1;}return 0;
}
int main() {scanf("%d %d", &n, &m);FL(i, 1, n) {FL(j, 1, m) {int w;scanf("%d", &w);if ((i + j) & 1)w = -w;sx[i] += w;sy[j] += w;}}ll Sx = 0, Sy = 0;FL(i, 1, n) {Sx += abs(sx[i]);}FL(i, 1, m) {Sy += abs(sy[i]);}while (Work());printf("%lld\n", max(Sx, Sy));FL(i, 1, n) {FL(j, 1, m) {if ((i + j) & 1)B[i][j] = -B[i][j];printf("%lld%c", B[i][j], " \n"[j == m]);}}return 0;
}