凭小学常识发现中学数学几百年重大错误：将无穷集误为一元集——百年病态集论的症结

黄小宁

R可几何化为R轴。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0）。各实数x、y可几何化为一维空间“管道”g内的点。R一切非负数x≥0的全体记为R+，R+可几何化为射线s。

《几何原本》表明人类认识射线起码已有2300多年，这使初等数学中关于射线的知识是初数中的初数。自有射线概念2300多年来数学一直认定：起点和射出方向都相同的射线必重合。这使中学数学有几百年函数“常识c”：定义域为R+的y=kx（k是非1正常数）≥0的值域=R+。这一流传几百年使世人深信不疑的中学“常识”在小学常识面前不堪一击。

h定理：元不少于两个的点集A=B≌B的必要条件是A≌B。

证：⑴任何图≌本身是小学常识。⑵若A=B则A必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换。证毕。

由3个点组成的A=｛…｝中两端点不动，中点往左偏移但保持在两端点之间就使A变形为没中点的B不≌A；点还是这3个点∈A，但其保序不保距地改变位置后形成的点集B与A有不同的“长相”。这说明有序点集a保序不保距地变换为b必不≌a。

x轴的子部射线s：x≥0各元点x≥0沿x轴方向保序不保距平移变为点x+δ=y=kx（k是非1正常数）≥0就使射线s沿本身伸缩变换为元为点y≥0的射线s':y=kx≥0（不≌s）附着在s上。据h定理各射线s'不=s——说明各s'是数学前所未知的“更无理”射线，自有射线概念后的2300多年里一直无人能知有伪重合射线。注：射线s'也可沿本身伸缩变换为新的射线，…。h定理表明几百年函数“常识c”其实是将无穷多前所未知的“更无理”射线误为熟悉的射线s的重大错误。将元为射线⊂相应直线的无穷集误为一元集的数学显然是“以井代天”的“井底蛙”数学。

人类由有射线概念到发现更无理射线竟须历时2300多年！发现的异常艰难性由此可见一斑。

射线由直线段组成，有伪重合射线自然就有伪重合直线段，将两异直线段误为同一线段就使康脱推出错上加错的更重大错误：直线段的部分点可与全部点一样多。注：初等数学有几百年函数“常识d”：元为点x∈射线s的直线段w=【0，2】⊂射线s均匀收缩变短成元为点y=x/2的直线段v=【0，1】（⊂射线y=x/2≥0）～w中的v必是w的一部分。

详论见黄小宁长文《几何最起码常识凸显初等数学将无穷集误为一元集——…》。