我们引入 \((1 + t)^n,n\in\mathbb{R}\) 这个东西。
若 \(t = -1\)，当 \(n\leq 0\) 时，这个东西没有意义，否则他是 \(0\)。
若 \(t = 1\)，我们显然不用展开了。
若 \(|t| < 1\) 时。
我们使用麦克劳林公式（泰勒展开的 \(x_0\) 为 \(0\) 时）。
易得到 \((1 + t)^n = \displaystyle\sum^\infty_{m = 0}\dfrac{n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)}{m!}t^m\)。
我们注意到如果 \(n\) 是非负整数的话，\(\dfrac{n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)}{m!}\) 就是 \(C^m_n\) 。
因此我们把组合数部分推广到实数域，定义 \(C_n^m = \dfrac{n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)}{m!}(n\in \mathbb{R},m\in\mathbb{N})\)，其中 \(C^0_n = 1\)。
然后我们得到 \((1 + t)^n = \displaystyle\sum^\infty_{m = 0}C^m_nt^m\)。
至于我们为什么要讨论 \(|t| < 1\) 呢。
我们观察到，当 \(|t| > 1\) 的时候，这个东西他是发散的。
使用比值判别法来证明：\(\displaystyle\lim_{m\to \infty}\dfrac{C^{m + 1}_nt^{m + 1}}{C^m_nt^m} = \lim_{m\to \infty}\dfrac{n - m + 1}{m}t = \lim_{m\to \infty}(\dfrac{n + 1}{m} - 1)\cdot t = -t\)。
因此，如果 \(|t| \geq 1\) 时，这个东西发散。
那如果 \(|t| > 1\) 时怎么办呢。
我们可以提出一个 \(t^n\)。
即原式 \(=\) \(t^n(1 + t^{-1})^n\)。
这样一来，\(\left|t^{-1}\right|\) 就小于 \(1\) 了。
我们使用公式，\((1 + t^{-1})^n = \displaystyle\sum^\infty_{m = 0}C^m_nt^{-m}\)。
因此，\(t^n(1 + t^{-1})^n\) 就等于 \(\displaystyle\sum^\infty_{m = 0}C^m_nt^{n-m}\)。
然后我们考虑，\((x + y)^n\)。
若 \(x = y\)，他就不用展开了。
若 \(x = -y\)，当 \(n\leq 0\) 时，这个东西没有意义，否则是 \(0\)。
若 \(|x| > |y|\)，这个东西等于 \(x^n(1 + x^{-1}y)^n = x^n\displaystyle\sum^\infty_{m = 0}C^m_nx^{-m}y^{m} = \displaystyle\sum^\infty_{m = 0}C^m_nx^{n-m}y^{m}\)。
否则，这个东西等于 \(y^n(1 + xy^{-1})^n = y^n\displaystyle\sum^\infty_{m = 0}C^m_nx^my^{-m} = \displaystyle\sum^\infty_{m = 0}C^m_nx^my^{n-m}\)。
终于写完了。