【递归算法】快速幂解决 pow(x,n)

题目链接：pow(x,n)

一、题目解析

题目很简单，要求x的n次幂。

要注意n的取值范围：n可能是负数，这时候我们要利用数学中x⁻ⁿ = 1 / xⁿ来转换；n可能是 -2³¹，若转换成正数则会超过 int 类型的最大取值 2³¹-1。

二、算法原理

2.1 解法一：循环

思路很简单，循环n次即可。

for (int i = 0; i < n; i ++) x *= x;

时间复杂度：O（N）

但是，当n取值很大时，比如 n = 1000，程序的效率就会降低，甚至超时。

2.2 解法二：快速幂

快速幂可以采用两种方法来实现：

1. 递归实现✅
2. 循环实现

我们这里采用递归实现。

先看示例1：

• 要求 2¹⁰，我们可以通过 2⁵ * 2⁵ 来得到；
• 要求 2⁵，我们可以通过 2² * 2² * 2 来得到；
• 要求 2²，我们可以通过 2 * 2 来得到；
• 要求 2，我们可以通过 2⁰ (1) * 2 来得到；

即：

三、代码实现

设计函数头——寻找子问题：

根据算法原理，我们可以知道，该问题的子问题是：计算所给的x的n次幂
因此函数头有两个参数x、n，返回值为与所给的x相同的类型：double pow(double x, int n)

设计函数体——子问题所做的事：

每一个子问题都是先得到x的n / 2次幂，然后根据当前n的奇偶性决定是 xⁿ * xⁿ，还是 xⁿ * xⁿ * x，即：

• temp = pow(x, n / 2)
• return (n % 2 == 0) ? temp * temp ： temp * temp * temp

递归出口：

当 n == 0 时，返回1，因为所有数的0次幂都是1

代码实现如下：

class Solution { public double myPow(double x, int n) { // 分n为正负两个情况 return (n < 0) ? 1.0 / pow(x, -n) : pow(x, n); } public double pow(double x, int n) { // 递归出口 if (n == 0) return 1.0; double temp = pow(x, n / 2); // 分奇偶情况 return (n % 2 == 0) ? temp * temp : temp * temp * x; } }