最短路
一个联通图中有n个点，m条边。边有权值（可正可负），可有向可无向。给定起点s和终点t，在所以连接s到t的路径中寻找边的权值之和最小的路径，这就是最短路径问题。
单源最短路
给定图，求一个点到所有其它点的最短路径。
Dijkstra算法:
该算法要求边权不为负，核心策略是每次选择当前距离起点最近的未确定点，用它来更新其他点的距离。
1.设置两个顶点的集合T和S：
S中存放已找到最短路径的顶点，初始状态时，集合S中只有一个顶点，即源点v0；
T中存放当前还未找到最短路径的顶点；
2.以后每求得一条最短路径(v0,…,vk)，就将vk加入到顶点集合S中，直到所有的顶点都加入到集合S中，算法就结束了
算法的具体步骤
1.初始时，S中包含源点v0。
2.然后不断从T中选取到顶点v0路径长度最短的顶点u，找到后：
a)把顶点u加入到S；
b)修改顶点v0到T中剩余顶点的最短路径长度值。T中各顶点新的最短路径长度值为：min{原来的最短路径长度值, 顶点u的最短路径长度+u到该顶点的路径长度值}；
3.重复2，直到T的顶点全部加入S为止。
初始化起点距离为0，其他点为无穷大，每次取出距离最小的点，用它更新邻居，重复直到剩下的顶点不可达。
vector<int> dijkstra(int n, int start, vector<vector<pair<int, int>>>& graph) {vector<int> dist(n + 1, INT_MAX);vector<bool> visited(n + 1, false);dist[start] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {// 寻找未访问的最小距离顶点int u = -1;for (int j = 1; j <= n; j++) {if (!visited[j] && (u == -1 || dist[j] < dist[u])) {u = j;}}if (dist[u] == INT_MAX) break; // 剩下的顶点不可达visited[u] = true;// 用u更新相邻顶点for (auto& edge : graph[u]) {int v = edge.first;int w = edge.second;if (dist[v] > dist[u] + w) {dist[v] = dist[u] + w;}}}return dist;
}
注意到上面在每次寻找未访问的最小距离节点时会遍历所有节点，这会浪费一些时间，可以使用优先队列进行优化。
vector<int> dijkstraHeap(int n, int start, vector<vector<pair<int, int>>>& graph) {vector<int> dist(n + 1, INT_MAX);dist[start] = 0;// 使用优先队列（最小堆）// pair<距离, 顶点>priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push({0, start});while (!pq.empty()) {auto [d, u] = pq.top();pq.pop();// 如果当前距离不是最短的，跳过if (d > dist[u]) continue;for (auto& edge : graph[u]) {int v = edge.first;int w = edge.second;if (dist[v] > dist[u] + w) {dist[v] = dist[u] + w;pq.push({dist[v], v});}}}return dist;
}
朴素版本：O(V²) ，堆优化版本：O((V+E)logV)
优点：效率高，适合稠密图和稀疏图
缺点：不能处理负权边
练习题
动态演示
证明
Bellman-Ford算法：
该算法可处理负边权，但不能有负环
负环
先介绍 Bellman–Ford 算法要用到的松弛操作（Dijkstra 算法也会用到松弛操作）．
对于边(u,v)，松弛操作对应下面的式子：dis(v) = min(dis(v), dis(u) + w(u, v))．
这么做的含义是显然的：我们尝试用 𝑆 →𝑢 →𝑣,其中 𝑆 →𝑢的路径取最短路）这条路径去更新 𝑣点最短路的长度，如果这条路径更优，就进行更新．
Bellman–Ford 算法所做的，就是不断尝试对图上每一条边进行松弛．我们每进行一轮循环，就对图上所有的边都尝试进行一次松弛操作，当一次循环中没有成功的松弛操作时，算法停止．
每次循环是 𝑂(𝑚)
O(m) 的，那么最多会循环多少次呢？
在最短路存在的情况下，由于一次松弛操作会使最短路的边数至少+1,而最短路的边数最多为n-1，因此整个算法最多执行n-1 轮松弛操作．故总时间复杂度为𝑂(𝑛𝑚).
但还有一种情况，如果从 𝑆 点出发，抵达一个负环时，松弛操作会无休止地进行下去．注意到前面的论证中已经说明了，对于最短路存在的图，松弛操作最多只会执行n-1 轮，因此如果第n轮循环时仍然存在能松弛的边，说明从S 点出发，能够抵达一个负环．
struct Edge {int u, v, w;
};vector<Edge> edge;int dis[MAXN], u, v, w;
constexpr int INF = 0x3f3f3f3f;bool bellmanford(int n, int s) {memset(dis, 0x3f, (n + 1) * sizeof(int));dis[s] = 0;bool flag = false; // 判断一轮循环过程中是否发生松弛操作for (int i = 1; i <= n; i++) {flag = false;for (int j = 0; j < edge.size(); j++) {u = edge[j].u, v = edge[j].v, w = edge[j].w;if (dis[u] == INF) continue;// 无穷大与常数加减仍然为无穷大// 因此最短路长度为 INF 的点引出的边不可能发生松弛操作if (dis[v] > dis[u] + w) {dis[v] = dis[u] + w;flag = true;}}// 没有可以松弛的边时就停止算法if (!flag) {break;}}// 第 n 轮循环仍然可以松弛时说明 s 点可以抵达一个负环return flag;
}
时间复杂度：O(VE)，V为顶点数，E为边数
优点：可以处理负权边，能检测负环
缺点：效率较低，不适合稠密图
练习题
记录路径
我们引入path数组用以记录当前点在最短路径中的前驱节点，每次更新某个点的最短路径值时同时更新其path值。
在Dijkstra中，我们修改更新临近节点的部分为
for (auto& edge : graph[u]) {int v = edge.first;int w = edge.second;if (dist[v] > dist[u] + w) {dist[v] = dist[u] + w;path[v] = u;}
}
同样，在Bellman-Ford中，可将松弛操作更改为
for (int j = 0; j < edge.size(); j++) {u = edge[j].u, v = edge[j].v, w = edge[j].w;if (dis[u] == INF) continue;if (dis[v] > dis[u] + w) {dis[v] = dis[u] + w;path[v] = u;flag = true;}
}
在记录path数组后，可通过如下操作输出路径
void run(int s, int t) { //s为起点，t为终点if(s == t) cout << s << " ";else {run(s, path[t]);cout << t << " ";}
}
练习题
简单计数
对于边权值为一的的图，最短路的值就是路径上边的个数。可以从起点开始进行bfs，由于每条边权相同，我们第一次访问某个点时就是最短路，我们从起点开始，向队列中加入距离起点为1的点，距离起点为2的点只能从距离为1的点过来，而我们在从队列中取出距离为2的点进行遍历之前我们已经处理完距离为1的点，此时我们对到距离为2的点的路径已经计数完成，依此类推即可。
vector<int> d(n + 1, 1e18), cn(n + 1, 0); //d数组记录路径长度，cn数组计数
queue<int> q;
q.push(1);
while (!q.empty()) {auto u = q.front();q.pop();for (auto v : e[u]) {if (d[v] == 1e18) { //第一次访问q.push(v);d[v] = d[u] + 1;cn[v] = cn[u];} else if (d[v] == d[u] + 1) { // 后续访问cn[v] += cn[u];}}
}
练习题
多源最短路
Floyd 算法：
是用来求任意两个结点之间的最短路的．复杂度比较高，但是常数小，容易实现（只有三个 for）．适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在．（不能有个负环）。
我们定义一个数组 f[k][x][y]，表示只允许经过结点 1到k（也就是说，在子图 𝑉′ =1,2,…,𝑘
中的路径，注意，𝑥 与 𝑦 不一定在这个子图中)，结点 x到结点y的最短路长度．
很显然，f[n][x][y] 就是结点x到结点y的最短路长度（因为 𝑉′ =1,2,…,𝑛 即为 𝑉 本身，其表示的最短路径就是所求路径)．
接下来考虑如何求出 f 数组的值．
f[0][x][y]：𝑥 与 𝑦 的边权，或者 0，或者正无穷（f[0][x][y] 什么时候应该是 +∞？当 𝑥 与 𝑦 间有直接相连的边的时候，为它们的边权；当x=y的时候为零，因为到本身的距离为零；当x与y没有直接相连的边的时候,为正无穷)．
f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y], f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y])（f[k-1][x][y]，为不经过 𝑘 点的最短路径，而 f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y]，为经过了k点的最短路)．
上面两行都显然是对的，所以说这个做法空间是 𝑂(𝑁3)，我们需要依次增加问题规模（k从1到n)，判断任意两点在当前问题规模下的最短路．
因为第一维对结果无影响，我们可以发现数组的第一维是可以省略的，于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y])
vector<vector<int>> floydWarshall(int n, vector<vector<pair<int, int>>>& graph) {// 初始化距离矩阵vector<vector<int>> dist(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));// 初始化：自己到自己的距离为0，有边的直接赋值for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i][i] = 0;for (auto& edge : graph[i]) {int v = edge.first;int w = edge.second;dist[i][v] = min(dist[i][v], w); // 处理重边}}// Floyd核心算法for (int k = 1; k <= n; k++) {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (dist[i][k] != INT_MAX && dist[k][j] != INT_MAX) {dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);}}}}return dist;
}
时间复杂度：O(V³)，空间复杂度：O(V²)
优点：代码简单，可以处理负权边（但不能有负环）
缺点：时间复杂度高，只适合小规模图（V≤500）
练习题