\((0).\) 给定 \(n\in \N^{*}\)，求解：\(ans_n=\prod\limits_{k=1}^{n-1} \sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right).\)
注意到：
于是 \(|1-e^{2i\theta}|=2\left\vert\sin \theta \right\vert\)，故 \(\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{1}{2}|1-e^{\frac{2k\pi i}{n}}|=\dfrac{1}{2}|1-w_n^k|\)，其中 \(w_n=e^{\frac{2\pi i}{n}}\) 表示 \(n\) 次单位根。
于是 \(ans_n=2^{1-n}\left\vert\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(w_n^k-1\right)\right\vert\)，后者是一个经典套路。
构造 \(f(z)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} z^k=\dfrac{z^n-1}{z-1}=\prod\limits_{k=1}^{n-1} (z-w_n^k)\)，于是带入 \(z=1\) 得到 \(\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left(w_n^k-1\right)=(-1)^{n-1}n.\)
于是 \(ans_n=n\cdot 2^{1-n}.\)
\((1).\) 求解 \(s=\sin 6\degree\sin 42\degree\sin 66\degree\sin 78\degree.\)
解：显然是 \((6,66),(42,78)\) 配对。
\(s=\dfrac{1}{4}(\cos 60\degree -\cos 72\degree)(\cos 36\degree -\cos 120\degree)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}-\sin 18^{\degree}\right)\left(\dfrac{1}{2}+1-2\sin^2 18^{\degree}\right)\)
进斩杀了，\(\sin 18\degree=\dfrac{\sqrt 5-1}{4}\Longrightarrow s=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3-\sqrt 5}{4}\times \dfrac{\sqrt 5+3}{4}=\dfrac{1}{16}.\)
\((2).\) 求解 \(s=\cos 6\degree\cos 42\degree\cos 66\degree\cos 78\degree.\)
解：显然是 \((6,66),(42,78)\) 配对。
\(s=\dfrac{1}{4}(\cos 60\degree +\cos 72\degree)(\cos 36\degree +\cos 120\degree)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}+\sin 18^{\degree}\right)\left(-\dfrac{1}{2}+1-2\sin^2 18^{\degree}\right)\)
同理代入 \(\sin 18\degree=\dfrac{\sqrt 5-1}{4}\Longrightarrow s=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{\sqrt 5+1}{4}\times \dfrac{\sqrt 5-1}{4}=\dfrac{1}{16}.\)
\((3).\) 求解 \(s=\cos 40\degree (1+\sqrt 3\tan 10\degree).\)
解：\(s=\dfrac{2\cos 40\degree (\cos 30\degree \sin 10\degree +\sin 30\degree \cos 10\degree )}{\cos 10\degree}=\dfrac{2\cos 40\degree \sin 40\degree}{\cos 10\degree}=1.\)
\((4).\) 求解 \(s=\sec 50\degree+\tan 10\degree.\)
解：\(s=\dfrac{\sin 10\degree\sin 40\degree+\cos 10\degree}{\sin 40\degree\cos10\degree}=\dfrac{\sin 10\degree\sin 40\degree+2\sin 40\degree\cos 40\degree}{\sin 40\degree\cos10\degree}=\dfrac{\sin 10\degree+2\degree\sin 50\degree}{\cos10\degree}\)
和下面的 \((5)\) 类似，\(\sin 10\degree+2\sin(60\degree-10\degree)=\sqrt3\cos 10\degree\Longrightarrow s=\sqrt 3.\)
\((5).\) 求解 \(s=2\cos 10\degree\sec 20\degree -\tan 20\degree.\)
解：\(s=\dfrac{2\cos 10\degree-\sin 20\degree}{\cos 20\degree}=\dfrac{\sqrt 3\cos 20\degree+\sin 20\degree-\sin 20\degree}{\cos 20\degree}=\sqrt 3.\)
\((6).\) 求解 \(s=\cos \frac{2\pi }{7}+\cos \frac{4\pi }{7}+\cos \frac{6\pi }{7}.\)
解：取 \(7\) 次单位根 \(w\)，则 \(s=\dfrac{1}{2}(w+w^{-1}+w^2+w^{-2}+w^3+w^{-3})=-\dfrac{1}{2}.\)
\((7).\) 求解 \(s=8\sin^2\frac{\pi}{7}\sin^2\frac{2\pi}{7}\sin^2\frac{3\pi}{7}.\)
解：套用 \((0).\) 的结论 \(\sin\left(\dfrac{k\pi}{n}\right)=\dfrac{1}{2}|1-w_n^k|\)，取 \(7\) 次单位根 \(w\)，则 \(s=\dfrac{1}{8}|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)|^2.\)
注意到 \(|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)|=|(w^{-1}-1)(w^{-2}-1)(w^{-3}-1)|=|(1-w^4)(1-w^5)(1-w^6)|.\)
于是 \(s=\dfrac{1}{8}|(1-w)(1-w^2)(1-w^3)(1-w^4)(1-w^5)(1-w^6)|=\dfrac{7}{8}\)，最后一步仍然套用了 \((0).\) 的结论。
\((8).\) 求解 \(s=\sin^4 10\degree+\sin^4 50\degree+\sin^4 70\degree.\)
解：注意到 \(10\degree+60\degree\to 70\degree,70\degree+60\degree\to 130\degree\to 50\degree.\)
于是 \(10\degree,50\degree,70\degree\) 是 \(\sin 3\theta=\dfrac{1}{2}\) 的三个 \([0,2\pi)\) 内的根。
即 \(x_1=\sin 10\degree,x_2=\sin 50\degree,x_3=\sin 70\degree\) 是 \(8x^3-6x+1=0\) 的三个实根。
于是 \(8x^4=x(6x+1)=6x^2+x.\)
于是只需求 \(\sum x_i^2,\sum x_i\) 即可。
根据韦达定理，\(\sum x_i=0,\sum x_i^2=(\sum x_i)^2-2\sum x_1x_2=\dfrac{3}{2}.\)
于是 \(s=\dfrac{6}{8}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{8}.\)
\((9).\) 求解 \(s=\sin 1\degree\sin 3\degree\cdots \sin 89\degree.\)
解：构造 \(t=\sin 2\degree\sin 4\degree\cdots \sin 90\degree.\)
\(t=2^{45}\cdot \sin 1^{\degree}\cos 1^{\degree}\sin 2^{\degree}\cos 2^{\degree}\cdots \sin 45^{\degree}\cos 45^{\degree}=2^{44}\times \sqrt 2\times \sin 1\degree\sin 2\degree\cdots \sin 89\degree=2^{44}\sqrt 2 st.\)
于是解得 \(s=\frac{\sqrt 2}{2^{45}}.\)
\((10).\) 求解 \(s=\cos^5 \frac{\pi}{9}+\cos^5 \frac{5\pi}{9}+\cos^5 \frac{7\pi}{9}.\)
解：类似 \((8).\) 有：\(20\degree,100\degree,140\degree\) 分别是 \(\cos 3\theta=\dfrac{1}{2}\) 的三个根。
\(x_1=\cos \frac{\pi}{9},x_2=\cos \frac{5\pi}{9},x_3=\cos \frac{7\pi}{9}\) 分别是 \(8x^3-6x-1=0\) 的三个实根。
\(x^5=\dfrac{1}{8}x^2(6x+1)=\dfrac{3}{32}(6x+1)+\dfrac{1}{8}x^2.\)
同理 \(\sum x_i=0,\sum x_i^2=\dfrac{3}{2}\Longrightarrow s=\dfrac{9}{32}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{15}{32}.\)