5. 用图解法求解
(1)
题目：
\[\begin{cases}
\min z = 10x + y \\
\text{s.t. } 2x - y \ge 0 \\
\quad\quad 3x + 2y \le 7 \\
\quad\quad x - y \le \frac{2}{3} \\
\quad\quad x \ge \frac{1}{2} \\
\quad\quad x \ge 0,\ y \ge 0
\end{cases}
\]
解答：
- 可行域顶点：\(A\left(\frac{1}{2}, 1\right)\)、\(B(1, 2)\)、\(C\left(\frac{5}{3}, 1\right)\)
- 计算各顶点目标函数值：
- \(A\left(\frac{1}{2}, 1\right)\)：\(z = 10 \times \frac{1}{2} + 1 = 6\)
- \(B(1, 2)\)：\(z = 10 \times 1 + 2 = 12\)
- \(C\left(\frac{5}{3}, 1\right)\)：\(z = 10 \times \frac{5}{3} + 1 = \frac{53}{3}\)
- 最优解：\(x = \frac{1}{2},\ y = 1\)，\(\min z = \boldsymbol{6}\)✅
(2)
题目：
\[\begin{cases}
\max z = 3x + 2y \\
\text{s.t. } 2x - y \ge 0 \\
\quad\quad 3x + 2y \le 7 \\
\quad\quad x - y \le \frac{2}{3} \\
\quad\quad x \ge \frac{1}{2} \\
\quad\quad x \ge 0,\ y \ge 0
\end{cases}
\]
解答：
- 可行域顶点与(1)相同：\(A\left(\frac{1}{2}, 1\right)\)、\(B(1, 2)\)、\(C\left(\frac{5}{3}, 1\right)\)
- 计算各顶点目标函数值：
- \(A\left(\frac{1}{2}, 1\right)\)：\(z = 3 \times \frac{1}{2} + 2 \times 1 = 3.5\)
- \(B(1, 2)\)：\(z = 3 \times 1 + 2 \times 2 = 7\)
- \(C\left(\frac{5}{3}, 1\right)\)：\(z = 3 \times \frac{5}{3} + 2 \times 1 = 7\)
- 最优解：\(x = 1,\ y = 2\) 或 \(x = \frac{5}{3},\ y = 1\)，\(\max z = \boldsymbol{7}\)✅
(3)
题目：
\[\begin{cases}
\min z = (x_1 - 1.5)^2 + x_2^2 \\
\text{s.t. } x_1^2 + x_2^2 \le 1 \\
\quad\quad 2x_1 + x_2 \ge 1 \\
\quad\quad x_1 \ge 0,\ x_2 \ge 0
\end{cases}
\]
解答：
- 目标函数表示点 \((x_1, x_2)\) 到点 \((1.5, 0)\) 的距离平方。
- 可行域为单位圆在第一象限且满足 \(2x_1 + x_2 \ge 1\) 的部分。
- 最近点为单位圆与 \(x_2=0\) 的交点 \((1, 0)\)，满足约束条件。
- 最优解：\(x_1 = 1,\ x_2 = 0\)，\(\min z = (1 - 1.5)^2 + 0^2 = \boldsymbol{0.25}\)✅