定义、等价条件、Sylvester 准则详解 + 例子、二次型正定与范数正定的对比表。
一、正定二次型与正定矩阵
设 \(A\) 是 \(n\times n\) 实对称矩阵，对任意非零实向量 \(x\)，若
\[x^T A x > 0,\quad \forall x\neq 0
\]
则称：
- 二次型 \(f(x)=x^T A x\) 为正定二次型
- 矩阵 \(A\) 为正定矩阵
二、正定矩阵的等价判定条件
对实对称矩阵 \(A\)，以下条件等价：
- \(A\) 是正定矩阵
- 对所有 \(x\neq 0\)，有 \(x^T A x > 0\)
- \(A\) 的所有特征值都 > 0
- \(A\) 的所有顺序主子式都 > 0（Sylvester 准则）
- 存在可逆矩阵 \(C\)，使得 \(A = C^T C\)
- \(A\) 合同于单位矩阵 \(I\)（即存在可逆 \(P\)，使 \(P^T A P = I\)）
三、Sylvester 准则（顺序主子式判据）详解
设 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，定义第 \(k\) 阶顺序主子式为左上角 \(k\times k\) 子矩阵的行列式：
\[\Delta_k = \det
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk}
\end{pmatrix}
\]
Sylvester 准则：
\[A \text{ 正定} \iff \Delta_1>0,\ \Delta_2>0,\ \dots,\ \Delta_n>0
\]
具体写出来：
\[\begin{aligned}
\Delta_1 &= a_{11} > 0\\
\Delta_2 &= \det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} > 0\\
\Delta_3 &= \det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} > 0\\
&\vdots\\
\Delta_n &= \det(A) > 0
\end{aligned}
\]
四、Sylvester 准则例子
取
\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
\]
- 用 Sylvester 准则：
\[\Delta_1 = 2 > 0,\quad
\Delta_2 = \det\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} = 4-1 = 3 > 0
\]
全部为正 ⇒ \(A\) 正定。
- 用特征值验证：
\[\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
\]
解得 \(\lambda_1=1,\ \lambda_2=3>0\)，特征值全正 ⇒ \(A\) 正定。
五、二次型正定 vs 范数正定
核心联系与对比
| 性质 | 二次型正定性 \(x^T A x\) | 范数正定性 \(|x|\) |
|---|---|---|
| 对象 | 对称矩阵 \(A\) | 范数函数 \(|\cdot|\) |
| 核心条件 | \(x^T A x>0,\ \forall x\neq 0\) | \(|x|>0,\ \forall x\neq 0\) |
| 零点行为 | \(x^T A x=0 \iff x=0\) | \(|x|=0 \iff x=0\) |
| 齐次性 | \(Q(\alpha x)=\alpha^2 Q(x)\)（二次） | \(|\alpha x|= |
| 几何意义 | 椭球等高面、严格极小值 | 到原点的“距离” |
关键桥梁：由正定矩阵诱导的内积与范数
若 \(A\) 正定，则可定义加权内积：
\[\langle x,y\rangle_A = x^T A y
\]
由此诱导加权范数：
\[\|x\|_A = \sqrt{x^T A x} = \sqrt{\langle x,x\rangle_A}
\]
这个 \(|\cdot|_A\) 满足范数的全部公理（正定性、齐次性、三角不等式），且
\[\|x\|_A > 0 \iff x^T A x > 0 \iff x\neq 0
\]
即：正定二次型 ⇔ 由它开方得到的范数是正定范数。
如果你需要，我可以再补：
- 半正定、负定、不定的 Sylvester 型判据
- 3×3 矩阵的完整正定判定例题（含手算顺序主子式 + 特征值）