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26年湛江一中高一期末考试第19题函数新定义问题

news 2026/5/12 16:44:02

专题：函数题型：求参数或取值范围难度系数：★★★★
(经典例题讲解尽量从学生的角度出发，重在引导思考与总结)

【题目】

(26年湛江一中高一期末考试第19题)
已知函数$ f(x) $和$ g(x) $的定义域分别为$ D_1 $和$ D_2 $，若对任意的$ x_0∈D_1 $都恰好存在$ n $个不同实数$ x_1,x_2,
x_3,…,x_n∈D_2 $，使得$ g(x_i )=f(x_0) $(其中$ i=1,2,3,…,n,n∈N^* $)，则称$ g(x) $为$ f(x) $的“$ n $重覆盖函数”. (1) 若$ f(x)=\sqrt{2x} +\sqrt{4-2x} $,求$ f(x) $的值域并判断$ g(x)=x^2+2 $是否为$ f(x) $的“$ 2 $重覆盖函数”，请说明理由； (2) 求证：$ g(x)=\ln^2|x|-\ln x^2 $是$ f(x)=\dfrac{e^x-1}{ex+1} $的“$ 4 $重覆盖函数”； (3) 若$ g(x)=\left{
\begin{array}{c}
ax^2+(2a-3)x+1,x≤1\
\dfrac{1}{x-1},x>1
\end{array}
\right.
$为$ f(x)=\ln(e^x+1) $的“$ 2 $重覆盖函数”，求实数$ a $的取值范围.

【分析】

① 新定义问题，理解新定义是关键，尽量用自己的语言表达出来；
② 根据“$ n $重覆盖函数”的定义， (i)从代数角度来讲，对$ f(x) $值域中任何一值$ f(x_0 )=t $，方程$ g(x)=t $仅有$ n $个不重实数根； (ii)从几何角度来讲，利用函数的图象，以下图为例，可理解为$ f(x) $值域为$ (a,b) $，直线$ y=t∈(a,b) $与$ y=g(x) $有$ 2 $个交点，则$ g(x) $为$ f(x) $的“$ 2 $重覆盖函数”，若要是“$ n $重覆盖函数”，则要有且只有$ n $个交点.

③ 从定义的理解，$ f(x) $的值域肯定要是$ g(x) $值域的子集.

【解答】

第一问
解：求函数$ f(x) $的值域，观察其结构发现$ (\sqrt{2x} )^2+(\sqrt{4-2x} )^2=4 $是定值，可通过求$ f^2 (x) $的范围得到. $ f^2 (x)=(\sqrt{2x} +\sqrt{4-2x} )^2=2x+4-2x+2\sqrt{2x(4-2x)} =4+4\sqrt{-(x-1)^2+1} $ ，
$ ∵0≤\sqrt{-(x-1)^2+1} ≤1 $，$ ∴4≤4+4\sqrt{-(x-1)^2+1} ≤8 $，即$ 4≤f^2 (x)≤8 $，又$ f(x)>0 $，$ ∴2≤f(x)≤2\sqrt{2} $，即$ f(x) $的值域是$ [2,2\sqrt{2} ] $；当$ f(x)=2 $时，$ g(x)=2 $仅有一个解$ x=0 $， (画出函数图象也会发现直线$ y=2 $与$ y=g(x) $只有一个交点) 所以$ g(x)=x^2+2 $不是$ f(x) $的“$ 2 $重覆盖函数”；

第二问
(根据分析，可先求$ f(x) $的值域) 证明：$ f(x)=\dfrac{e^x-1}{ex+1}=\dfrac{(e^x+1)-2}{ex+1}=1-\dfrac{2}{e^x+1} $(分离常数法)，定义域为$ R $， $ ∵e^x>0 $，$ ∴e^x+1>1 $，$ ∴0<\dfrac{2}{e^x+1}<2 $，

$ ∴-1<1-\dfrac{2}{e^x+1}<1 $，即$ -1<f(x)<1 $， (根据分析中几何角度，可找到解题思路，研究函数图象，再看交点个数；从奇偶性和单调性入手) $ ∵g(-x)=\ln^2|x|-\ln x^2 =g(x) $，$ ∴g(x) $是偶函数，且定义域为$ x≠0 $，当$ x>0 $时，$ g(x)=\ln^2⁡x-2 \ln⁡x=(\ln⁡x-1)^2-1 $， (从复合函数角度，当$ x∈(0,e) $时，$ y=\ln⁡x-1∈(-∞,0) $递增， 又$ y=t^2-1 $在$ (-∞,0) $递减，故$ g(x)=(\ln⁡x-1)^2-1 $在$ (0,e) $上递减； 同理可得$ g(x)=(\ln⁡x-1)^2-1 $在$ (e,+∞) $上递增，且$ g(e)=-1 $，故$ y=g(x) $的图象是

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令$ g(x)=f(x_0 )=t $，$ t∈(-1,1) $，即$ (\ln⁡x-1)^2-1=t $，

解得$ x=e^{1+\sqrt{1+t}} $或$ x=e^{1-\sqrt{1+t}} $，即当$ x>0 $时，$ g(x_i )=f(x_0) $有两个解，又$ ∴g(x) $是偶函数，所以$ g(x_i )=f(x_0) $有$ 4 $个解，即$ g(x) $是$ f(x) $的“$ 4 $重覆盖函数”；

第三问
$ ∵e^x+1>1 $，$ ∴\ln(e^x+1)>0 $，即$ f(x)=\ln(e^x+1) $的值域为$ (0,+∞) $，定义域为$ R $，(求$ f(x) $值域) $ ∵g(x) $为$ f(x) $的“$ 2 $重覆盖函数”， $ ∴ $对任意$ x_0∈R $，则$ m=f(x_0 )>0 $，则方程$ g(x)=m $恰有$ 2 $个实数根，当$ x>1 $时，$ g(x)=\dfrac{1}{x-1}=m $有一个实数根，故只需要$ x≤1 $时，方程$ g(x)=m $恰有$ 1 $个实数根， (数形结合，$ y=ax^2+(2a-3)x+1(x≤1) $与$ y=m(m>0) $只有$ 1 $个交点，分离讨论从$ a=0 $、 $ a>0 $、$ a<0 $或对称轴或特殊点入手) ① 当$ a=0 $时，$ g(x)=-3x+1 $，符合题意； ② 当$ a>0 $时，抛物线的对称轴$ x=-\dfrac{2a-3}{2a}=\dfrac{3}{2a}-1 $，且抛物线过定点$ (0,1) $， (发现特殊点$ (0,1) $，便于思考与分类讨论) (i) 当$ \dfrac{3}{2a}-1<0 $时，若$ m=1 $，$ x≤1 $时方程$ g(x)=m $有$ 2 $个实数根，故不成立；

(ii) 当$ 0≤\dfrac{3}{2a}-1<1 $，即$ \dfrac{3}{4}<a≤\dfrac{3}{2} $时，此时$ g(1)=3a-2>\dfrac{9}{4}-2=\dfrac{1}{4}>0 $，故不成立；

(iii) 当$ \dfrac{3}{2a}-1≥1 $，即$ a≤\dfrac{3}{4} $时，若要满足题意则只需要$ g(1)≤0⇒3a-2≤0 $，解得$ a≤\dfrac{2}{3} $， (若$ g(1)>0 $的话，当$ 0<m<g(1) $时，就没有交点了)

所以$ a≤\dfrac{2}{3} $；即当$ a>0 $时，实数$ a $的取值范围是$ \left(0,\dfrac{2}{3}\right] $. ③ 当$ a<0 $时，抛物线存在最大值$ n $，当$ m>n $时，方程$ g(x)=m $不存在实数根，故不成立；综上所述，实数$ a $的取值范围是$ \left[0,\dfrac{2}{3}\right] $.