这是一个带约束的最小二乘问题。
一、为什么这是一个「二乘问题」？
我们要求的是：
射线上的点 和 线段上的点 距离最小
参数化表达
射线
[
\mathbf{R}(t) = \mathbf{O} + t\mathbf{D}
]
线段
[
\mathbf{S}(u) = \mathbf{A} + u\mathbf{V},\quad \mathbf{V}=\mathbf{B}-\mathbf{A}
]
两点差向量
[
\mathbf{w}(t,u)=\mathbf{R}(t)-\mathbf{S}(u)
]
目标
[
\min_{t,u} |\mathbf{w}(t,u)|^2
]
平方距离是二次函数
👉 这就是 least squares（二乘）
二、为什么用平方距离？
因为：
[
|\mathbf{w}|^2 = \mathbf{w}\cdot\mathbf{w}
]
- 没有根号
- 极值点不变
- 可微、好算
三、展开目标函数（核心数学）
[
\mathbf{w}(t,u) = \mathbf{O} + t\mathbf{D} - \mathbf{A} - u\mathbf{V}
]
记：
[
\mathbf{W}_0 = \mathbf{O} - \mathbf{A}
]
则：
[
\mathbf{w} = \mathbf{W}_0 + t\mathbf{D} - u\mathbf{V}
]
目标函数
[
f(t,u) = (\mathbf{W}_0 + t\mathbf{D} - u\mathbf{V})^2
]
四、无约束最小二乘（先算“理想解”）
对 t、u 求偏导并令为 0：
对 t：
[
\frac{\partial f}{\partial t}
= 2(\mathbf{W}_0 + t\mathbf{D} - u\mathbf{V})\cdot\mathbf{D} = 0
]
对 u：
[
\frac{\partial f}{\partial u}
= -2(\mathbf{W}_0 + t\mathbf{D} - u\mathbf{V})\cdot\mathbf{V} = 0
]
得到线性方程组
[
\begin{cases}
(\mathbf{D}\cdot\mathbf{D})t - (\mathbf{D}\cdot\mathbf{V})u
= -\mathbf{D}\cdot\mathbf{W}_0
-(\mathbf{D}\cdot\mathbf{V})t + (\mathbf{V}\cdot\mathbf{V})u
= -\mathbf{V}\cdot\mathbf{W}_0
\end{cases}
]
写成标准形式
记：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| (a) | ( \mathbf{D}\cdot\mathbf{D} ) |
| (b) | ( \mathbf{D}\cdot\mathbf{V} ) |
| (c) | ( \mathbf{V}\cdot\mathbf{V} ) |
| (d) | ( \mathbf{D}\cdot\mathbf{W}_0 ) |
| (e) | ( \mathbf{V}\cdot\mathbf{W}_0 ) |
方程组变为：
[
\begin{cases}
a t - b u = -d
-b t + c u = -e
\end{cases}
]
解这个 2×2 系统
行列式：
[
\Delta = ac - b^2
]
解为：
[
t = \frac{be - cd}{\Delta}
\quad
u = \frac{ae - bd}{\Delta}
]
👉 这就是你代码里看到的公式
五、这只是「无约束」解，为什么不够？
因为：
- 射线：
❌t < 0不合法 - 线段：
❌u < 0或u > 1不合法
几何意义：
最短距离点可能落在「射线延长线」或「线段延长线」上
但那不是我们要的
六、带约束最小二乘 = 几何裁剪
约束：
t ≥ 0
0 ≤ u ≤ 1
工程处理（也是你看到的代码）
t = Math.Max(t, 0);
u = Clamp(u, 0, 1);
这是：
- KKT 条件的几何特例
- 在 3D 几何中是标准、稳定解法
七、平行情况（Δ ≈ 0）为什么要单独处理？
当：
[
ac - b^2 \approx 0
]
说明：
- D 和 V 方向几乎共线
- 方程退化
- 数值不稳定
几何意义
任意一对点几乎都一样“近”
工程退化策略
固定一个参数，再解另一个：
t = 0;
u = Clamp( e / c, 0, 1 );
不是魔法，也不是拍脑袋。