考虑如果 \(d = 1\)，那么答案就是 \(k^n\)，\(d = 2, 3\) 本质一样，讲一下本质的 \(d = 3\)。
考虑生成函数，答案为：
\[\left[\frac{x^n}{n!}\right] \left(\sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{x^{3i}}{(3i)!} \right)^k
\]
我们此时无法利用直觉将不是三的倍数次项给变为 \(0\)，如果是 \(d = 2\) 那么生成函数就是 \((\frac{e^x + e^{-x}}{2})^k\)，考虑 \(d = 3\) 怎么推导。
使用单位根反演，原本的形式变为：
\[\left[\frac{x^n}{n!}\right]\left(\sum_{i = 0}^{+ \infty} \frac{[3 | i]x^{i}}{(i)!} \right)^k
\]
反演一下可得最终形式是：
\[\left(\frac{e^x + e^{\omega_3 ^1 x} + e^{\omega_3^2 x}}{3}\right)^k
\]
三项式展开即可。
这种有关于整除类题目都可以往单位根反演的角度思考。