03.传递函数（定义与时域）

1. 传递函数的定义

• 传递函数（Transfer Function）定义为系统输出（响应）与输入（激励）之比。
• 数学表达为：

2. 传递函数是否有单位？

传递函数不一定无量纲，其单位取决于输入与输出的物理量类型：

示例1：RC充电电路（电压 → 电压）

• 输入：电源电压 Vi（单位：V）
• 输出：电容两端电压 Vo（单位：V）
• 传递函数：

• 无量纲（单位相消）

示例2：电流检测电阻（电流 → 电压）

• 输入：电流 I（单位：A）
• 输出：电压 V=I⋅R单位：V）
• 传递函数：

• 单位为欧姆（Ω）

示例3：PWM比较器（误差电压 → 占空比）

• 输入：误差电压（单位：V）
• 输出：占空比（Duty Cycle），无量纲（百分比）
• 传递函数：

• 单位为 V⁻¹（伏特的负一次方）

关键结论：传递函数的单位由输入与输出的物理量决定，二者不必同类型。

*

3. RC充电电路示例：时域传递函数推导

考虑一个简单RC串联电路，开关在 t=0t=0 闭合，对电容充电。

• 输入：Vi（恒定直流电压）
• 输出：电容电压 VC(t)
• 目标：求时域传递函数 H(t)=VC(t)/Vi

步骤1：建立电路约束方程（KVL）

根据基尔霍夫电压定律（KVL）：

其中：

步骤2：元件约束关系

步骤3：联立方程

将上述关系代入KVL方程：

整理得一阶线性微分方程：

步骤4：求解微分方程

解得电荷：

因此电容电压为：

步骤5：写出传递函数

注意：此为时域传递函数，依赖时间 t，且推导过程涉及微分方程求解。

4. 时域分析的局限性与频域方法的引入

域分析的问题：

• 推导过程繁琐：需列写KVL/KCL、元件方程、联立、解微分方程。
• 对高阶系统（如二阶LC电路）更复杂，微分方程求解困难。
• 不便于系统稳定性、频率响应等分析。

解决方案：引入频域分析

• 使用拉普拉斯变换（Laplace Transform）将时域函数转换为复频域（s域）函数。
• 传递函数在s域中表示为：

• 在s域中，微分方程变为代数方程，求解大幅简化。
• 后续将重点讲解如何通过拉普拉斯变换从时域转向频域，从而高效求解传递函数。