题意容易转化为求以 \(u\) 为起点，\(S\) 为所有路径的 \(dis-minpre\) 和，\(C\) 为所有路径的 \(\sum_i [pre_i<\min(pre[1,i-1])]\) 之和。
以每个点为起点的路径问题考虑点分治，当前分治中心为 \(rt\)。
先考虑第一问，所有从 \(u\) 出发经过 \(rt\) 的路径的 \(\sum dis\) 是好求的，预处理 \(S=\sum_v dis(rt,v)\)，则 \(u\) 的结果为 \(s_u\cdot \sum_v [\mathrm{lca}(u,v)=rt]-(S-\sum_{v, \mathrm{lca} (u,v)\ne rt}dis(rt,v))\)。而所有路径的 \(minpre\) 考虑合并 \(u\to rt\) 与 \(rt\to v\)，则 \(minpre=\min(minpre_{u\to rt},dis(rt,u)+minpre_{rt\to v})\) 容易得出分别取到两项时需要满足的不等式条件，容易用值域线段树简单维护。
而前缀最小值个数同样考虑合并 \(u\to rt\) 与 \(rt\to v\) 记 \(cnt_{u\to v}\) 为 \(u\) 到 \(v\) 路径上前缀最小值个数，则 \(cnt_u\) 直接计入，而假设 \(rt\to v\) 路径上所有前缀最小值的集合为 \(T\)，\(T\) 中元素 \(x\) 计入答案当且仅当 \(dis(u,rt)+x<minpre_{u\to rt}\) 同样得出不等式关系。而 \(rt\to v\) 的 \(T\) 容易递推得到，当 \(v\) 位置作为根链上的前缀最小值，则意味着其在子树中任意点的结果中都作为前缀最小值出现，故贡献 \(siz_v\) 次。
剩下的问题是如何得到 \(u\) 走到根链上的各种信息，实际上只需要找到最深的祖先满足 \(dis(rt,w)>dis(rt,u)\) 则 \(u\) 的各种信息从 \(w\) 转移即可（第一个前缀最小值在 \(w\) 处）。
卡常的话离散化后用树状数组好像会快很多。
代码很丑不想放了。