考虑 \(3\) 操作：
\[c_i=\sum_{\gcd(x,y)=i}a_xb_y
\]
不难注意到这是一个 \(\gcd\) 卷积的形式。
考虑构造一种变换:
\[\mathscr{F}(a)_i=\sum_jf(i,j)a_j
\]
使得:
\[\mathscr{F}(c)_i=\mathscr{F}(a)_i\mathscr{F}(b)_i
\]
其中 \(f(i,j)\) 为贡献系数。
考虑 \(f\) 的性质：
\[\begin{align*}
\mathscr{F}(c)_i&=\sum_x\sum_yf(i,\gcd(x,y))a_xb_y\\
\mathscr{F}(c)_i&=\sum_xf(i,x)\sum_yf(i,y)a_xb_y
\end{align*}
\]
因此：
\[f(i,\gcd(x,y))=f(i,x)f(i,y)
\]
不难注意到：
\[f(i,j)=[i\mid j]
\]
满足以上条件且可逆。
接下来考虑逆变换：
\[a_i=\mathscr{F}^{-1}(\mathscr{F}(a))_i=\sum_jg(i,j)\mathscr{F}(a)_j
\]
进行代入可得：
\[a_i=\sum_jg(i,j)\sum_{j\mid k}a_k
\]
不妨设：
\[g(i,j)=\begin{cases}
0&i\nmid j\\
h(\frac{j}{i})& i \mid j
\end{cases}
\]
则有：
\[\begin{align*}
a_i &= \sum_{i\mid k}( \sum_{j\mid \frac{k}{i}}h(j))a_k \\
a_i &= \sum_{i\mid k}[\frac{k}{i}=1]a_k
\end{align*}
\]
因此有：
\[\sum_{j\mid i}h(j)=[i=1]
\]
不难注意到：
\[h(i)=\mu(i)
\]
即：
\[g(i,j)=\begin{cases}
0&i\nmid j\\
\mu(\frac{j}{i})& i \mid j
\end{cases}
\]
满足以上条件。