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概率论 - 贝叶斯定理 - 实践

news 2026/5/12 14:19:08

贝叶斯定理可广泛应用在数据分析、模式识别、统计决策、人工智能、心理学、博弈论等各种领域，可见了解和掌握贝叶斯定理是有必备要的。

贝叶斯公式1

举个例子：一次掷两颗骰子，共可能出现的结果有6x6=36种组合,这就是的样本空间，每个样本的概率均为1/36。
问题A：至少有一个骰子点数是3多少？就是的概率
问题B： 两个骰子相加等于9的概率是多少？
问题C: 至少有一个骰子点是3 并且 相加等于9的概率是多少？

为了理解我们把36种结果列举出来如下

问题A多少?就是至少有一个骰子点数是3的概率

图解：11/36, 标记 P(A) = 11/36

问题B：两个骰子之和为9的概率是多少？

图解：4/36, 标记 P(B) = 4/36

问题C : 至少有一个骰子点数是3 并且相加等于9的概率是多少？

图解：2/36, 标记 P( $A \bigcap B$ ) = 2/36

以上问题应该好理解，它的样本空间是36也就是分母固定是36，再来看两个新疑问

1. 至少有一个骰子点数是3的情况下，两个骰子相加等于9的概率是多少？

图解：至少一个骰子点数是3, 一共有11种组合，因为P(A $\bigcap$ B) = 2,2，它的就是所以分子11就是样本空间, 因而2/11 ，标记P(B|A) = 2/11, A表示至少一个骰子点是3，B表示相加等于9。

2. 两个骰子之和为9的情况下,至少有一个骰子点是3的概率是多少？

图解：两个骰子之和为9,一共有6种组合,因为P(B $\bigcap$ A) = 2,2，它的就是所以分子样本空间是6, 所以2/4，标记P(A|B) = 2/4

注意 P(A $\bigcap$ B) 表示：至少点数有3并且之和为9，P(B $\bigcap$ A) 表示：之和为9并且至少点数有3 (在前面是第一条件,后面是第二条件) , P(A|B) 在前面是子集，在后面是所有集

通过其实以上问题都能够用贝叶斯公式1: $P(A|B) = \frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)}$ 来求解，假设已知条件：

1. 至少有一个骰子点数是3的概率 P(A) = 11/36

2. 两个骰子相加等于9的概率 P(B) = 4/36

3. 至少有一个骰子点数是3的情况下，两个骰子相加等于9的概率 P(B|A) = 2/11

现在求两个骰子之和为9的情况下,至少有一个骰子点是3的概率是多少？求P(A|B)=?

根据贝叶斯公式有 $P(A|B) = \frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)}$ = 2/11 * 11/36 $\div$ 4/36 = $\frac{2}{11}$ * $\frac{11}{36}$ * $\frac{36}{4}$ = $\frac{2}{4}$

很多时候 P(A)是已知的或是给定的叫做先验概率，计算出来的，叫就是P(A|B)后验概率

最后贝叶斯公式1

贝叶斯公式2

很多时候发现计算P(B)是比较困难的，甚至无法知道P(B)概率,所以要用到贝叶斯定理的另一种表示叫做贝叶斯公式2 分子不变, 分母P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B| $\bar{A}$ )*P( $\bar{A}$ ), 其中P( $\bar{A}$ )=1- P(A)

P( $\bar{A}$ )图解， P(B| $\bar{A}$ )， P( $\bar{A}$ ) 子集中找到两个骰子相加等于9的组合，P(B| $\bar{A}$ ) 图解

为了方便记忆，简化一下图形结构

P(B) =P(B $\bigcap$ A) + P(B $\bigcap$ $\bar{A}$ ) ，其中公式P(B $\bigcap$ A) = P(A|B)*P(A)

P(B) = P(A)与P(B)的交集加上非P(A)与P(B)的交集，把 P(B)分成左右两部份

末了贝叶斯公式2为

实例分析

根据单关键词垃圾邮件判断已知邮件库的统计数据

1. 垃圾邮件占所有邮件的概率(占比) 0.4
2. 垃圾邮件中涵盖关键词 “xxx” 的概率(占比) 0.9
3. 正常邮件中具备关键词 “xxx” 的概率(占比) 0.05

问题：现收到一封包含关键词 “xxx” 的邮件，判断它是垃圾邮件的概率是多少？

分析一下: 1.垃圾邮件占所有邮件0.4 我们定为先验概率记P(A) = 0.4 垃圾邮件当作A事件

2. 包含关键词占所有邮件概率是多少? 无法知道P(B)=? , 包含关键词当作 B事件

3. 垃圾邮件中包含关键词概率 P(B|A) = 0.9

4. 正常邮件中包含关键词, 正常邮件 P( $\bar{A}$ )= 1-P(A) =0.6, P(B| $\bar{A}$ ) = 0.05

5.问题求 P(垃圾邮件|含关键词)的概率也就是 P(A|B) = ？

图解：

解：用贝叶斯公式2

分子：P(B|A)*P(A) = 0.9*0.4 = 0.36

分母: P(B) = P(B|A)*P(A) + P(B| $\bar{A}$ )*P( $\bar{A}$ ) = 0.36 + 0.05 * 0.6 = 0.39

P(垃圾邮件|含关键词)的概率 P(A|B)=0.36/0.39 = 12/13

应用领域

该定理在多个领域有广泛应用

‌医学诊断‌：例如，计算在检测结果呈阳性时实际患病的概率，考虑疾病的发病率和检测的准确率；
‌机器学习‌：用于垃圾邮件过滤、推荐系统等，通过更新模型参数来改进预测；
‌投资决策‌：在信息不完全时，基于相关项目的概率分析推断目标项目的可能性；
‌人工智能‌：支持概率推理和决策环境，使设备能根据经验调整行为。‌

感谢大家的支持，如要问题欢迎提问指正。

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