【题目来源】
洛谷：[P1073 NOIP 2009 提高组] 最优贸易 - 洛谷
【题目描述】
C 国有 \(n\) 个大城市和 \(m\) 条道路，每条道路连接这 \(n\) 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 \(m\) 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 \(1\) 条。
C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 \(n\) 个城市的标号从 \(1∼n\)，阿龙决定从 \(1\) 号城市出发，并最终在 \(n\) 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 \(n\) 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 C 国有 \(5\) 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设 \(1∼n\) 号城市的水晶球价格分别为 \(4,3,5,6,1\)。
阿龙可以选择如下一条线路：\(1→2→3→5\)，并在 \(2\) 号城市以 \(3\) 的价格买入水晶球，在 \(3\) 号城市以 \(5\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(2\)。
阿龙也可以选择如下一条线路：\(1→4→5→4→5\)，并在第 \(1\) 次到达 \(5\) 号城市时以 \(1\) 的价格买入水晶球，在第 \(2\) 次到达 \(4\) 号城市时以 \(6\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(5\)。
现在给出 \(n\) 个城市的水晶球价格，\(m\) 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。
【输入】
第一行包含 \(2\) 个正整数 \(n\) 和 \(m\)，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 \(n\) 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 \(n\) 个城市的商品价格。
接下来 \(m\) 行，每行有 \(3\) 个正整数 \(x,y,z\)，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 \(z\)\(=\)\(1\)，表示这条道路是城市 \(x\) 到城市 \(y\) 的单向道路；如果 \(z\)\(=\)\(2\)，表示这条道路为城市 \(x\) 和城市 \(y\) 之间的双向道路。
【输出】
一个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 \(0\)。
【输入样例】
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
【输出样例】
5
【算法标签】
《洛谷 P1073 最优贸易》 #动态规划DP# #搜索# #图论# #最短路# #强连通分量# #NOIP提高组# #2009#
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 100005; // 定义最大节点数int n, m; // n-节点数，m-边数
int p[N]; // 存储每个节点的权值
int minn[N]; // 存储从根到当前节点的路径上的最小值
int maxx[N]; // 存储从根到当前节点的路径上的最大差值
int u, v, opt; // 临时变量：u,v-边的两个节点，opt-边的类型
vector<int> ve[N]; // 邻接表存储图结构/*** 深度优先搜索函数* @param x 当前节点* @param y 从根到父节点的路径上的最小值* @param z 父节点*/
void dfs(int x, int y, int z)
{bool flag = false; // 标记是否需要继续向下搜索// 更新当前路径的最小值if (y > p[x]){minn[x] = p[x];y = p[x];flag = true;}else if (minn[x] > y){minn[x] = y;flag = true;}// 更新当前路径的最大差值（当前节点值-路径最小值）if (maxx[x] < max(maxx[z], p[x] - minn[x])){maxx[x] = max(maxx[z], p[x] - minn[x]);flag = true;}// 如果状态有更新，则继续搜索子节点if (flag){for (int i = 0; i < ve[x].size(); i++){int tmp_v = ve[x][i];dfs(tmp_v, y, x);}}
}int main()
{// 输入节点数和边数cin >> n >> m;// 输入每个节点的权值for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> p[i];}// 构建图的邻接表for (int i = 1; i <= m; i++){cin >> u >> v >> opt;ve[u].push_back(v);if (opt == 2) // 如果是双向边{ve[v].push_back(u);}}// 初始化minn数组为极大值memset(minn, 0x3f, sizeof(minn));// 从根节点开始DFSdfs(1, 0x3f3f3f3f, 0);// 输出从根到n号节点的最大差值cout << maxx[n] << endl;return 0;
}
【运行结果】
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
5