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我们考虑 \([L,R]\) 所构成的子树的根节点 \(rt\)，即 \([L,R]\) 的lca。这是一个经典的问题答案是 \(\min\limits_{l\le i<r} lca_{i,i+1}\)。也等价于区间内dfn最小的两个点的lca。
钦定 \(1\) 为整棵树的根分类讨论：
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\(p\) 在 \(rt\) 的子树外：我们达到 \(lca(p,rt)\) 后再走到 \(rt\) ，只能分叉去到不同的点，如果不分叉，那么lca的子节点也是 \([L,R]\) 的公共祖先，与 \(rt\) 是最近公共祖先相矛盾。答案即为 \(dis_{1,rt}+dis_{1,p}-2\times dis_{1,lca(p,rt)}\)；
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\(p\) 在 \(rt\) 的子树中：我们对于每个点最短路径为先向上走到 \(p\) 与其的lca处再往下走。我们找到 \([L,R]\) 中与 \(p\) 的lca中深度最低的点，记其为 \(h\)。走到最低点 \(h\) 后，要么存在某个点与 \(p\) 的lca在更高点，要么在 \(h\) 分叉即有两个不同的点与 \(p\) 的lca为 \(h\)。否则取 \(h\) 的某个子节点也能成为 \([L,R]\) 的公共祖先。特判掉 \(L=R\) 的情况，我们发现最后的路径即为 \(p\) 到与其深度最低的lca，也就是\(h\)，的路径。
长度即为 \(dis_{1,p}-dis_{1,h}\) 。如何求出 \(h\)？根据dfn求lca的原理，我们发现可能的h仅有可能是 \(p\) 与 \([L,R]\) 中dfn相较于 \(p\) 的dfn的前驱和后继。二维平面信息差分，采用主席树维护值域即可。