椭圆周长问题

椭圆周长没有一个能用初等函数精确表示的简单公式，这是人所共知的。其精确表达式，是一个叫做第二类完全椭圆积分的形式，

其中和分别为椭圆的长半轴和短半。首先我们看，

也就是圆的情况，

长轴和短轴不相等的时候，前面的系数，

被积函数，

积分结果，

已知三角函数，

角度的意义，

代入，

到这一步可以看出，椭圆的椭性，指的是两个系统，各自给出横向和纵向两个部分，

现在假定，若要将两个系统整合，

若假定，,

如果两者都不同，

这说明，一个椭圆，指的是具有两种单位系统的增长函数，各自提供到当前周期中虚数单位的奇数幂次和偶数幂次对应的层次上的投射，形成的综合效果。两者单位之差，为。也就是说，一个椭圆，并不是一个单一的增长系统，而是两个增长系统假合的结果。考虑到大多数已知天体运行的轨道都是椭圆，有理由认为，大多数已知天体的运行都受着步进速率不同的两种增长系统共同支配。

把，

代入三角函数形式，

也可以认为，椭圆的周长是对于对应的圆的周长单位的相位错移累加之后的结果。